一道有趣的概率题

记录一道有趣的概率题，题目来自Mit公开课Session 29。

问题

假设投一枚均匀的硬币，用H表示正面，T表示反面。现在不停地投硬币直至看到HTT或HHT，问先看到HHT的概率？

这题乍一看还是挺难的，后来查阅了网上的资料才有思路，主要是运用条件概率，还有很多类似的问题也可以同样处理。

参考资料：

https://dicedcoins.wordpress.com/2012/07/19/flip-hhh-before-htt/

定义HHT出现在HTT之前的事件为$A$，那么

$$\begin{aligned} \mathbb P[A] &=\mathbb P[A|H]\mathbb P[H]+ \mathbb P[A|T]\mathbb P[T]\\ &=\frac 1 2 \mathbb P[A|H] +\frac 1 2 \mathbb P[A] \end{aligned}$$

所以

$$\mathbb P[A] =\mathbb P[A|H]$$

另一方面

$$\begin{aligned} \mathbb P[A|H] &=\mathbb P[A|HH] \mathbb P[H]+\mathbb P[A|HT] \mathbb P[T]\\ &=\frac{1}{2}\mathbb P[A|HH] +\frac{1}{2}\mathbb P[A|HT] \end{aligned}$$

现在考虑给定前两位$HH$，事件$A$发生的概率，这时事件$A$发生的情形为

$$HHT,HHHT,HHHHT,\ldots$$

所以

$$\mathbb P[A|HH] =\sum_{i=1}^n \frac 1 {2^i}=1$$

带入可得

$$\begin{aligned} \mathbb P[A|H] &=\mathbb P[A|HH] \mathbb P[H]+\mathbb P[A|HT] \mathbb P[T]\\ &=\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\mathbb P[A|HT] \end{aligned}$$

但是显然有

$$\begin{aligned} \mathbb P[A|HT] &=\mathbb P[A|HT H] \mathbb P[H]+\mathbb P[A|HTT] \mathbb P[T]\\ &= \frac 1 2 \times \mathbb P[A|HT H] +\frac 1 2 \times 0\\ &=\frac 1 2 \times \mathbb P[A|H] \end{aligned}$$

综合之前的讨论得到

$$\begin{aligned} \mathbb P[A] &=\mathbb P[A|H]\\ &=\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\mathbb P[A|HT]\\ &=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \times \frac 1 2 \times \mathbb P[A|H]\\ &=\frac{1}{2} +\frac 1 4 \times \mathbb P[A] \end{aligned}$$

因此

$$\mathbb P[A]=\frac 2 3$$