一道有趣的期望题

记录一道有趣的期望题，是一道构造性的问题，题目来自Mit公开课Session 33。

问题

$R$是取正整数的随机变量，如果$\mathbb E[R]=2$，那么$\text{Var}[R]$最多能多少？

这题我的第一反应是正无穷，但是一开始没构造出来，后来查阅资料也没有相关例子，最后思考了一个多小时才构造出例子，这里记录下思路。

构造如下：

$$\begin{aligned} \mathbb P[R=i] &=\frac 4 {i(i+1)(i+2)} ,i \in \mathbb N \end{aligned}$$

下面分别验证条件：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^\infty \mathbb P[R=i] &=\sum_{i=1}^\infty \frac 4 {i(i+1)(i+2)}\\ &= 2\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{i(i+1)} - \frac {1}{(i+1)(i+2)}\right) \\ &=2 \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{i(i+1)} - \frac {1}{(i+1)(i+2)}\right) \\ &= 2\times \frac 1 2 \\ &=1\\ \mathbb E[R] &=\sum_{i=1}^\infty \mathbb P[R=i]\times i\\ &=\sum_{i=1}^\infty \frac 4 {(i+1)(i+2)}\\ &= 4\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{i+1} - \frac {1}{i+2}\right) \\ &= 4\times \frac 1 2 \\ &=2\\ \mathbb E[R^2] &=\sum_{i=1}^\infty \mathbb P[R=i]\times i^2\\ &=\sum_{i=1}^\infty \frac {4i} {(i+1)(i+2)}\\ &\to \infty\\ \text{Var}[R] &=\mathbb E[R^2] - \mathbb E[R]^2 \\ &\to \infty \end{aligned}$$