台大实分析单元 9 度量空间 2

这一部分介绍了巴拿赫空间的概念。

给定一个度量$(M,\rho)$，按如下方式定义序列：

$$M中一个序列是从\mathbb N到M的映射，通常用\{x_n\}_{n\in \mathbb N}表示，简写为\{x_n\}， 其中x_n是自然数n\in \mathbb N的象$$

接着给出极限的定义：

$$令\{x_n\}是M中序列，那么\lim_{n\to \infty} x_n = x \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} \rho(x_n, x) =0\\ 其中x被称为\{x_n\}的极限$$

仿照数学分析中定义柯西序列：

$$一个序列\{x_n\}被称为柯西序列，如果对于任意的\epsilon >0，存在N\in \mathbb N，\\ 使得对于任意的n,m\ge N， \rho(x_n,x_m) <\epsilon$$

同数学分析中一样，如果$\lim_{n\to \infty} x_n$存在，那么$\{x_n\}$是柯西序列；柯西序列收敛当且仅当存在一个子列收敛。

定义度量空间的完备性：

$$一个度量空间被称为完备的，如果该空间的每个柯西序列都收敛$$

完备度量空间的例子：

$$\mathbb R ^n ，\mathbb C^n，C[a,b]$$

赋范线性空间(Normed Vector Space)

假设$E$是一个向量空间（实空间或者复空间），一个函数$||.||:E \to \mathbb R$如果满足如下条件，那么称其为$E$上的范数：

$$\begin{aligned} (i) &||x|| \ge 0, ||x||= 0 \Leftrightarrow x = 0\\ (ii) &||\alpha x|| = |\alpha|.||x||,\forall x\in E,\alpha \in \mathbb R\\ (iii) &||x+y|| \le ||x||+||y||,\forall x,y\in E \end{aligned}$$

如果一个向量空间$E$上定义了范数$||.||$，那么称其为范数为$||.||$的赋范线性空间(n.v.s)，用$(E,||.||)$表示。

赋范线性空间的例子：

$$\mathbb R ^n ，\mathbb C^n，C[a,b]$$

现在我们把赋范线性空间和之前定义的度量联系起来。

对于一个赋范线性空间$(E,||.||)$，我们在其上用$\rho(x,y) = ||x-y||,x,y\in E$定义度量。

如果一个赋范线性空间是完备的，那么称其为巴拿赫空间，$\mathbb R ^n ，\mathbb C^n，C[a,b]$都是巴拿赫空间。

接下来我们考虑最重要的空间$L^P(\Omega,\Sigma,\mu)$，给出如下定义：

$$给定一个测度空间(\Omega,\Sigma,\mu)，f是\Omega上的度量空间，定义\\ ||f||_p =\begin{cases} \Big [\int_{\Omega}|f|^p d\mu \Big]^{\frac 1 p}& (1\le p <\infty) \\ \inf \{M\ge 0 : |f|\le M(a.e) \} &(p =\infty) \end {cases}$$

Remark:

$$|f| \le ||f||_{\infty} (a.e)$$

证明：

如果$||f||_{\infty} = \infty​$，那么结论显然成立；如果$||f||_{\infty} < \infty​$，那么存在$\{M_n\}​$，使得$\{M_n\} \downarrow ||f||_{\infty} ​$并且对每个$n​$，$|f| \le M_n(a.e)​$。这说明对每个$n​$，存在一个零测集$N_n​$，使得对于任意$x\in \Omega \setminus N_n​$，$|f| \le M_n​$，选择$N = \bigcup_n N_n​$，那么$N​$是一个零测集，并且对于任意$x\in \Omega \setminus N​$，可以推出$x\in \Omega \setminus N_n​$，从而

$$|f(x)| \le M_n$$

令$n\to \infty$，

$$|f(x)| \le ||f||_{\infty}$$

为了说明$L^P(\Omega,\Sigma ,\mu)$是度量空间，我们需要证明著名的赫尔德不等式：

Theorem 5 (Hölder’s inequality)

$$如果p,q \ge 1, \frac 1 p + \frac 1 q = 1，那么对于任意可测的f,g\\ \int_{\Omega} |fg| d\mu \le ||f||_p ||g||_q$$

在证明这个定理之前，我们先证明一个基本的不等式：

$$\alpha ,\beta \ge 0,并且\alpha +\beta =1，如果0\le \zeta,\eta < \infty，\\ 那么 \zeta^{\alpha} \eta^{\beta} \le \alpha\zeta + \beta\eta$$

当$\alpha,\beta,\zeta,\eta$中有一个元素为$0$时，结论显然成立，所以不妨假设$0< \alpha ,\beta <1$以及$\zeta,\eta >0$，由于$\alpha <1$，对于任意$x\ge 0$，由泰勒展开可得

$$(1+x) ^{\alpha} = 1 +\alpha x + \frac{\alpha (\alpha -1)}{2} \xi ^2\le 1+\alpha x$$

令$y=1+x \ge 1$，那么上述不等式可化为

$$y^{\alpha} \le \alpha (y-1) + 1 = \alpha y + \beta$$

显然$\zeta \eta ^{-1}\ge 1$和$\zeta ^{-1}\eta \ge 1$至少有一个成立，如果$\zeta \eta ^{-1}\ge 1$，那么选择$y =\zeta \eta ^{-1}$，带入可得

$$\begin{aligned} (\zeta \eta ^{-1})^{\alpha} &\le \alpha \zeta \eta ^{-1} + \beta \\ \zeta^{\alpha} {\eta^{-\alpha}} &\le \alpha \zeta \eta ^{-1} + \beta \\ \zeta^{\alpha} {\eta^{1-\alpha}} &\le \alpha \zeta + \beta\eta \\ \zeta^{\alpha} {\eta^{\beta}}& \le \alpha \zeta + \beta\eta \end{aligned}$$

当$\zeta ^{-1}\eta \ge 1$时同理带入$y^{\beta} \le \beta y + \alpha$即可

定理5的证明：

不失一般性，我们可以假设$0< ||f||_p,||g||_q <\infty$，因此$|f|,|g| <\infty (a.e)$

如果$p=\infty$，那么$q=1$，所以

$$|fg| \le |f|||g||_{\infty} (a.e) \\ \int_{\Omega} |fg| d\mu \le ||g||_{\infty} \int_{\Omega} |f| d\mu = ||g||_{\infty} ||f||_1$$

从而此时结论成立，同理$q=\infty​$时结论也成立，所以我们后续只要讨论$1 <p,q <\infty​$的情形。

由于除去一个零测集，$|f|,|g| <\infty $，所以令

$$\zeta = \Big(\frac{|f|}{||f||_p}\Big)^p ,\eta = \Big(\frac{|g|}{||g||_q}\Big)^q$$

注意$\frac 1 p +\frac 1 q =1$，将其带入刚刚证明的不等式可得

$$\frac{|f|}{||f||_p}\frac{|g|}{||g||_q} \le \frac 1 p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} +\frac 1 q\frac{|g|^q}{||g||^q_q}$$

两边关于$\Omega$积可得

$$\int_{\Omega} \frac{|f|}{||f||_p}\frac{|g|}{||g||_q} d\mu \le \int_{\Omega}\frac 1 p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} d\mu +\int_{\Omega}\frac 1 q\frac{|g|^q}{||g||^q_q} d\mu \\ \int_{\Omega} \frac{|f|}{||f||_p}\frac{|g|}{||g||_q} d\mu \le \frac 1 p +\frac 1 q = 1 \\ \int_{\Omega} |fg| d\mu \le ||f||_p ||g||_q$$

接下来证明闵可夫斯基不等式

Theorem 6 (Minkowski inequality)

$$f,g可测，1 \le p \le \infty，那么当f+g 在\Omega上几乎处处有意义时\\ ||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p$$

证明：

当$p=1$时，利用三角不等式即可证明结论；当$p = \infty$时，

$$|f+g| \le |f|+ |g| \le ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$$

所以由定义可知

$$||f+g||_{\infty} \le ||f||_{\infty}+||g||_{\infty} (a.e)$$

所以不妨假设$1 < p <\infty$，注意$\frac 1 p + \frac 1 q = 1$可以推出$pq-q =p$，那么

$$\begin{aligned} ||f+g||_p^p &= \int_{\Omega} |f+g|^p d\mu \\ &=\int_{\Omega} |f+g|^{p-1}|f+g| d\mu \\ &\le \int_{\Omega} |f+g|^{p-1}|f| d\mu + \int_{\Omega} |f+g|^{p-1}|g| d\mu \\ &\le \Big(\int_{\Omega} |f+g|^{(p-1)q}d\mu \Big)^{\frac 1 q} ||f_p|| + \Big(\int_{\Omega} |f+g|^{(p-1)q}d\mu \Big)^{\frac 1 q} ||g_p|| (由赫尔德不等式)\\ &= ||f+g||_p ^{\frac p q} (||f_p||+||g_p||) \end{aligned}$$

如果$0<||f+g||_p <\infty$，那么对上述不等式两边同除$||f+g||_p ^{\frac p q}$即可；否则可由如下事实证明结论：

$$||f+g||_p = \infty，那么||f||_p + ||g||_p = \infty$$

该事实在作业中会证明。

令$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是满足$||f||_p < \infty$可测函数全体，我们希望$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是线性空间，但是由于几乎处处相等的原因，$\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$并不是线性空间，考虑商集$L^p(\Omega,\Sigma,\mu)=\mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu) / \sim$，其中等价关系$\sim$表示$f\sim g \Leftrightarrow f=g(a.e)$，从而$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)\mathscr =\frac{L ^p(\Omega,\Sigma,\mu)}{N(\Omega,\Sigma,\mu)}$，$N(\Omega,\Sigma,\mu) = \{可测函数f: f=0(a.e)\}$

$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$中的元素$[f]$是等价类，其中$f\in \mathscr L ^p(\Omega, \Sigma,\mu)$，为方便起见，简写为$f$。我们在$L^p(\Omega,\Sigma,\mu)$上定义范数$||[f]||_p = ||f||_p$，这个定义是良好的，这是因为几乎处处为$0$的函数积分为$0$。

有了这些说明我们可得$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是线性空间，接下来将说明$L^p(\Omega, \Sigma,\mu)$是巴拿赫空间。

Theorem 7

$$按上述方式定义的L^p(\Omega, \sum,\mu)是一个巴拿赫空间$$

证明：

当$p = \infty$时，如果当$n,m \ge N$时，$||f_n-f_m||_p < \epsilon$，那么由$|f| \le |f|_{\infty}$可得

$$|f_n-f_m|\le ||f_n-f_m||_p < \epsilon$$

从而$f_n,f_m$一致收敛，由数学分析中的结论可知上述命题成立，所以接下来证明$1\le p <\infty$的情形即可。

令$\{f_n\}$是$L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$中的柯西序列，那么存在一个递增序列$\{n_k\}$使得如下事实成立：

$$||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_p \le 2^{-k} ,k=1,2,...$$

这里简单说明下这个事实。

因为$\{f_n\}$是$L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$中的柯西序列，所以存在$n_1 $使得如下事实成立：

$$||f_n-f_m||_p < \frac 1 2 ,如果n,m \ge n_1 \\$$

同理存在$n_2$使得如下事实成立：

$$||f_n-f_m||_p < \frac 1 4 ,如果n,m \ge n_2 \ge n_1 \\$$

按这个方式继续取可以得到$\{n_k\}$

接着令

$$g = \sum_{k=1}^\infty |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|,g_l = \sum_{k=1}^l |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|$$

注意$g_l $单调，那么由单调收敛定理以及Minkowski不等式可得

$$\begin{aligned} ||g||_p^p &= \int_{\Omega} (\sum_{k=1}^\infty |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|)^p d\mu \\ &=\int_{\Omega} \lim_{l\to \infty} (\sum_{k=1}^l |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|)^p d\mu \\ &=\lim_{l\to \infty} \int_{\Omega} (\sum_{k=1}^l |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|)^p d\mu \\ &= \lim_{l\to \infty} ||\sum_{k=1}^l |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|||^p _p \\ &\le \lim_{l\to \infty} (\sum_{k=1}^l ||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_p)^p \\ & \le \lim_{l\to \infty} \left (\sum_{k=1}^l \frac 1 {2^k} \right)^p \\ &\le 1 \end{aligned}$$

所以$|g|^p​$可积，由定义可知$g \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$，从而$|g(x)| < \infty(a.e)​$，那么对于$k > l​$，我们有

$$\begin{aligned} |f_{n_k}(x) - f_{n_l}(x)| &=|\sum_{j=l}^{k-1} f_{n_{j+1}}(x) - f_{n_j}(x)|\\ &\le \sum_{j=l}^{k-1}| f_{n_{j+1}}(x) - f_{n_j}(x)|\\ \end{aligned}$$

所以当$l\to \infty​$时，上式$\to 0​$

这说明$\{f_{n_k}(x) \}$是$\mathbb R$中柯西序列，因此$f_{n_k}(x) \to f(x)$。由于$|g(x)| < \infty(a.e)$，那么

$$f_{n_k}(x) \to f(x)(a.e)$$

注意我们有$|f_{n_k} |\le |f_{n_1} | + g​$，这是因为

$$\begin{aligned} |f_{n_k} | & = |f_{n_k} - f_{n_{k-1}} +...+ f_{n_2} -f_{n_1} + f_{n_1}| \\ &\le \sum_{i=1}^{k-1} |f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}}|+|f_{n_1}| \\ &\le |g| + |f_{n_1}| \end{aligned}$$

令$k \to \infty$可得

$$|f| \le |g| + |f_{n_1}|$$

因为$g,f_{n} \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$，那么由Minkowski不等式可知$f\in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$

由三角不等式可得

$$|f_{n_k}- f|^p \le (|f| + |g| + |f_{n_k}| )^p$$

因为$f,g ,f_{n_k} \in L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$，所以

$$|f_{n_k}- f|^p \le (|f| + |g| + |f_{n_k}| )^p < \infty (a.e)$$

那么利用勒贝格控制收敛定理可得

$$\lim_{k\to \infty} \int_{\Omega} |f_{n_k} -f|^p d\mu = \int_{\Omega} \lim_{k\to \infty}|f_{n_k} -f|^p d\mu = 0$$

因为$\{f_{n_k} \}$是柯西序列，上述事实可以推出

$$\lim_{n\to \infty}||f_n- f||_p = 0(a.e)$$

（备注：这是因为柯西序列收敛当且仅当有一个收敛子列）

因此$ L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)$是完备的，即$ L^p(\Omega, \Sigma ,\mu)​$是巴拿赫空间。