台大实分析单元 10 外测度 1

这一部分介绍了外测度的基本概念。

Unit 4 Outer measure

考虑全集$\Omega$，定义在$\Omega$的全体子集上的非负集合函数$\mu$被称为外测度，如果满足如下三个条件：

$$\begin{aligned} (i)&\mu(\varnothing) = 0 \\ (ii)&\mu(A) \le \mu(B)，如果A\subset B \subset \Omega \\ (iii)&\mu \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) 对于\{A_n\} \subset 2^\Omega \end{aligned}$$

$\Omega$上外测度常常被被简称为测度（注意之前的测度是定义在$\sigma$代数上的，所以这样称呼不会引起歧义）

给定$\Omega$上外测度$\mu$，定义$\Omega$的子集$A$为$\mu​$可测，如果

$$\mu(B) = \mu(A\bigcap B) +\mu(B\bigcap A^C)，对于任意B\subset \Omega \\$$

或者

$$\mu \left(C\bigcup D \right) = \mu(C) + \mu(D)对于任意C\subset A以及D\subset A^C$$

下面给出可测集的例子：

例 1

$\Omega, \varnothing$都是可测集

例 2

如果$\mu (A) = 0$，那么$A$可测，这是因为

$$0\le \mu(B\bigcap A) \le \mu( A) = 0 \\ \mu(B\bigcap A^C) \le \mu(B) \le \mu(B\bigcap A^C) +\mu(B\bigcap A) = \mu(B\bigcap A^C)$$

从而

$$\mu(B) =\mu(B\bigcap A^C) +\mu(B\bigcap A)$$

勒贝格外测度

考虑$\mathbb R$上勒贝格外测度。

令$\Phi$是$\mathbb R$上全体开区间$(a,b) ,a\le b$的全体，按如下方式定义$\Phi$上集合函数$\sigma$：

$$\sigma(I) = b-a,I=(a,b)$$

对于$A\subset \mathbb R$，用$\Lambda (A)$表示所有形如$\sum_n \sigma(I_n)$的数，其中$\{I_n\}\subset \Phi$，并且$A\subset \bigcup_n I_n$，我们定义

$$\lambda(A) = \inf \Lambda (A)$$

Claim

$$上述定义的\lambda是\mathbb R上定义的另一个外测度，称为\mathbb R 上的勒贝格外测度$$

证明：

$$(i)显然\lambda(A) \ge 0 \\$$ $$(ii)如果A\subset B，那么存在\{I_n\}使得 B\subset \bigcup_n I_n，\\ 那么A\subset B \subset \bigcup_n I_n，\\ 所以包含B的开区间全体是包含A的开区间全体的子集，取下确界可得\\ \lambda(A) \le \lambda(B)$$

接下来只要证明$\lambda$是$\sigma$次可加，即

$$(iii)如果\{A_n\} \subset 2^{\mathbb R}，那么 \lambda(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(A_n)$$

为了证明上述结论，我们不妨假设对于任意$n$，$\lambda(A_n) < \infty$（否则结论显然成立）。由下确界定义可知，给定$\epsilon>0$，存在$\alpha_n \in \Lambda (A_n)$，使得

$$\lambda(A_n) < \alpha_n < \lambda(A_n) +\frac \epsilon {2^n}$$

其中$\alpha_n = \sum_{k} \sigma(I_k^{(n)})$并且$A_n\subset \bigcup_k I_k^{(n)}$，那么

$$\bigcup_n A_n \subset \bigcup _n \bigcup_k I_k^{(n)}$$

即

$$\sum_{n,k} \sigma( I_k^{(n)}) \in \Lambda(\bigcup_n A_n)$$

那么

$$\begin{aligned} \lambda(\bigcup_{n} A_n) & \le \sum_{n,k} \sigma( I_k^{(n)}) \\ &= \sum_{n}\sum_{k} \sigma( I_k^{(n)}) (由\text{Unit 1 double series的性质}) \\ & \le \sum_{n} (\lambda(A_n) + \frac \epsilon {2^n}) \\ &= \sum_{n} \lambda(A_n) + \epsilon \end{aligned}$$

令$\epsilon \to 0$即可证得结论。