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http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/ocw/cou/105S109/9

Problem 1

(a)分别验证3个性质即可

(i)

(ii)

(iii)

结合以上三点，$ f_{\sharp} \sum$为$\sigma$代数

(b)

$\Rightarrow$

如果$f$可测，那么

注意

所以

因此$f_{\sharp} \sum$是包含全部左开右闭区间的$\sigma$代数，而$\overline {\mathcal B}$是包含全部左开右闭区间的最小$\sigma$代数，所以

$\Leftarrow$

如果$\overline {\mathcal B} \subset f_{\sharp} \sum$，那么

所以存在$A\subset \overline {\mathbb R}$，使得

从而$f$可测

(c)因为$f$有限，所以

(b)的结论修改为

这个结论即为(c)的结论

Problem 2

(a)

(b)注意

以及$\{ \inf_{m\ge n} f_m (w) \} \uparrow,\{ \sup_{m\ge n} f_m (w) \} \downarrow$，可得

(c)因为$\lim_{n\to \infty}\inf f_n,\lim_{n\to \infty}\sup f_n$均可测，所以任取$a\in \mathbb Q,n \in \mathbb N$，

注意

结论得证

(d)因为$\lim_{n\to\infty} f_n(x)$在每个点都存在，所以

由于$\lim_{n\to \infty}\inf f_n$可测，所以$\lim_{n\to\infty} f_n $可测

Problem 3

注意有如下结论

证明：

下面利用上述结论证明原命题。

因为

所以

从而

即$f+g$可测

Problem 4

(a)

因为

所以

从而$f^+,f^-$可测

(b)

因为$f^+,f^-$均可测，所以根据第四次课中Corollary 1可知，

现在取$f_n= f^+_n -f^-_n$，那么

结论成立。