台大实分析单元 8 度量空间 1

这一部分介绍了度量空间的基本概念。

我们之前考虑的都是测度空间$(\Omega,\Sigma, \mu)$，接下来我们要考虑定义在其上的度量空间$L^p(\Omega,\Sigma, \mu),1\le p \le \infty$，我们先介绍度量空间的预备知识。

度量的定义

令$M$是一个非空集合，考虑$\rho :M\times M \to \mathbb R$，如果$\rho$满足以下三个性质，$\rho$被称为度量：

$$\begin{aligned} (i) & \rho(x,y) = \rho(y,x) 对所有(x,y) \in M\times M \\ (ii) & \rho(x,y) \ge 0 , \rho(x,y) =0 \Leftrightarrow x = y \\ (iii)& \rho(x,y) \le \rho(x,z) +\rho(z,y) (三角不等式) \end{aligned}$$

来看几个具体例子

例1

$$M = \mathbb R^n = \{x =(x_1,...,x_n): x_j \in \mathbb R ,j =1,...,n\}\\ 定义\rho(x,y) = \left(\sum_{j=1}^n(x_j-y_j)^2 \right)^{\frac 1 2 }，\\ 其中x =(x_1,...,x_n),y =(y_1,...,y_n)$$

下面证明$\rho​$为度量，前两个性质是显然的，我们只证明第三个性质，这里利用Cauchy–Schwarz不等式：

$$对任意的x,y \in \mathbb R^n,我们有\\ |\sum_{j=1}^n x_jy_j| \le (\sum_{j=1}^n x_j^2)^{\frac 1 2 }(\sum_{j=1}^n y_j^2)^{\frac 1 2 }$$

我们用$||x||$表示$(\sum_{j=1}^nx_j^2)^{\frac 1 2 }$，所以

$$\rho(x,y) = ||x-y|| \\ 这个度量被称为欧几里得距离$$

接下来我们证明

$$||x-y|| \le ||x-z|| + ||z-y||$$

再作一个符号说明，定义

$$x.y = (x,y) = \sum_{j=1}^n x_j y_j$$

那么Cauchy–Schwarz不等式可以表达为

$$|(x,y)| \le ||x|| ||y||$$

所以

$$\begin{aligned} ||x-y||^2 &= (x-y,x-y) \\ &= (x-z+z-y, x-z+z-y)\\ &=(x-z, x-z) + 2(z-y, x-z) + (z-y,z-y)\\ &\le ||x-z||^2 +2||z-y||||x-z||+ ||z-y||^2\\ &=(||x-z|| + ||z-y||) ^2 \end{aligned}$$

即

$$||x-y|| \le ||x-z|| + ||z-y||$$

例2

$$M = \mathbb C^n = \{z =(z_1,...,z_n): z_j \in \mathbb C ,j =1,...,n\}\\ z.w=(z,w) = \sum_{j=1}^n z_j \overline w_j, z =(z_1,...,z_n),w =(w_1,...,w_n)\\ ||z||= (z.z)^{\frac 1 2 } =(\sum_{j=1}^n z_j \overline z_j) ^\frac 1 2\\ 定义\rho(z,w) = ||z-w||$$

利用由Cauchy–Schwarz不等式可以证明$\rho$为度量。

该度量称为$\rho$上的酉度量，$\mathbb C^n$被称为$n$维酉空间。

例3

$$M= C[a,b], -\infty < a< b<\infty\\ C[a,b]为[a,b]区间上的连续实函数(复函数)全体，定义\\ \rho(x,y) = \sup_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|,\\ 那么\rho为度量$$

注意由于$x,y$为连续函数，那么

$$\rho(x,y) = \sup_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)| = \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)|$$

性质(i),(ii)显然满足，这里只验证性质(iii)：

$$\begin{aligned} \rho(x,y) &= \max_{t\in [a,b]}|x(t)-y(t)| \\ &= \max_{t\in [a,b]}|x(t)-z(t)+z(t)-y(t)| \\ &\le \max_{t\in [a,b]}|x(t)-z(t)| + \max_{t\in [a,b]}|z(t)-y(t)| \\ &= \rho(x,z) + \rho(z,y) \end{aligned}$$

例4

离散空间

$$M是任意集合，定义 \\ \rho(x,y)=\begin{cases} 1, & x\neq y \\ 0, & x=y \end{cases}\\ 那么\rho是一个度量$$

性质(i)(ii)显然满足，这里验证性质(iii)，如果$\rho(x,y)=0$，结论显然成立，如果$\rho(x,y)=1$，那么$x\neq y$，任取$z\in M$，

$$\rho(x,z) + \rho(z,y) \ge 1 = \rho(x,y)$$

所以$\rho(x,y)=1$时结论也成立。

有了度量之后，就可以仿照$\mathbb R$上定义开集闭集的概念，首先引入开球与闭球。

开球与闭球

定义开球和闭球的概念：

$$对x\in M和r>0，定义B(x,r) = B_r(x) =\{y\in M: \rho(x,y) < r\} \\ 对x\in M和r>0，定义C(x,r) = C_r(x) =\{y\in M: \rho(x,y) \le r\} \\$$

$B(x,r)$被称为以$x$为中心，$r$为半径的开球；$C(x,r)$被称为以$x$为中心，$r$为半径的闭球。

开集与闭集

利用开球和闭球定义开集闭集：

$$M的子集A是开的，如果对任意x\in A，存在r>0，使得B(x,r) \subset A\\ M的子集A是闭的，如果A^C = M\setminus A 是开的$$

从定义可以得出，$B(x,r)$是开的，$C(x,r)$是闭的。

邻域

最后定义邻域的概念：

$$M的子集N被称为x的邻域，如果N有一个包含x的开集$$