台大实分析单元 7 测度与积分 3

这一讲介绍了Fatou引理以及勒贝格控制收敛定理。

首先给定一个测度空间$(\Omega,\Sigma, \mu)$，其次回顾上次介绍的单调收敛定理：

Theorem 2 单调收敛定理

$$\{f_n\}可测函数序列， f_n \ge 0 (a.e.), f_n\uparrow(a.e.)\\ 那么\int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} f_n d\mu = \lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}f_n d\mu$$

这里简单说明下这个定理，假设当$x\in N_n$时，$f_n<0$，其中$\mu(N_n)=0$，所以

$$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} N_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(N_n) = 0$$

这说明$\{f_n\}$除去一个零测集上都大于等于$0$。此外，由于$f_n\uparrow(a.e.)$，说明存在一个$N$，使得当$x\in \Omega \setminus N$时，$f_n \uparrow $，那么

$$\mu((\bigcup_{n=1}^{\infty} N_n)\bigcup N ) \le \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} N_n) + \mu(N) = 0$$

这说明除去一个零测集，$\{f_n\}$满足原始的单调收敛定理的全部条件，接着我们在该零测集上定义$f_n=0$，使用原始的单调收敛定理即可。

通过下面的例子比较黎曼积分和勒贝格积分的区别。

例1

令$\{r_1,r_2,r_3,…\}$是$[0,1]$上理数全体，按如下方式定义$[0,1]$上的序列$\{f_n\}$：

$$f_n(x)=\begin{cases} 1, & x\in\{r_1,...,r_n\}\\ 0, & 其他 \end{cases}$$

那么$f_n \uparrow f$，其中$f$有如下定义：

$$f(x)=\begin{cases} 1, & x为有理数\\ 0, & x为无理数 \end{cases}$$

显然有

$$\int_0^1 f_n(x) dx =0,\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(x) dx = 0$$

但是我们知道$f​$为狄利克雷函数，$\int_0^1 f dx​$（黎曼积分）不存在。

Remark

如果$f_n\uparrow(a.e.)$并且$\{f_n \}$的下界为一个可积函数，$i.e.$ $f_n\ge g\quad a.e$，其中$g$可积，此时Theorem 2仍然成立：

只要对$\{f_n-g\}$应用Theorem 2即可。

接下来介绍最重要的两个定理，Fatou引理以及勒贝格控制收敛定理。

Theorem 3 Fatou Theorem

$$令\{f_n\}是一列可测函数并且下界为一个可测函数，那么 \\ \int_{\Omega}\underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n d\mu \le \underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega} f_n d\mu$$

证明：

假设下界为$g$，令$g_n =\inf _{k\ge n} f_k$，那么$g_n \uparrow\underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n $。由定义可知$f_k\ge g$，所以$g_n\ge g$，那么由Theorem 2可得

$$\int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} g_n d\mu = \lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}g_n d\mu$$

因为$g_n\le f_n$，所以

$$\int_{\Omega}g_n d\mu \le \int_{\Omega}f_n d\mu$$

注意$\lim_{n\to \infty} g_n = \underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n$，且由于极限存在，可得

$$\lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}g_n d\mu = \underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega}g_n d\mu$$

那么

$$\begin{aligned} \int_{\Omega} \underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n d\mu &= \int_{\Omega} \lim_{n\to \infty} g_n d\mu \\ &=\lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}g_n d\mu \\ &=\underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega}g_n d\mu \\ &\le \underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega}f_n d\mu \end{aligned}$$

所以结论成立。

Collary 2

$$令\{f_n\}是一列可测函数并且上界为一个可测函数，那么 \\ \int_{\Omega}\underset{n\to \infty}{\lim \sup } f_n d\mu \ge \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \int_{\Omega} f_n d\mu$$

证明：

对$\{-f_n\}$应用Theorem 3即可。

Theorem 4 Lebesgue Dominated Convergence Theorem(LDCT)

$$如果\{f_n\}是一列可测函数，并且f_n \to f \ \ a.e，假设|f_n|\le g\ \ a.e\\ 其中g是一个可积函数，那么\\ \int_{\Omega} f d\mu = \int_{\Omega}\lim_{n\to \infty} f_n d\mu= \lim_{n\to \infty} \int_{\Omega}f_n d\mu$$

证明：

因为$|f_n|\le g$，所以$-g\le f_n \le g$，由Fatou引理以及推论2可知

$$\int_{\Omega}\lim_{n\to \infty} f_n d\mu = \int_{\Omega}\underset{n\to \infty}{\lim \inf} f_n d\mu \le \underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega} f_n d\mu \\ \int_{\Omega}\lim_{n\to \infty} f_n d\mu = \int_{\Omega}\underset{n\to \infty}{\lim \sup} f_n d\mu \ge \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \int_{\Omega} f_n d\mu$$

所以

$$\underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega} f_n d\mu \ge \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \int_{\Omega} f_n d\mu$$

但是由定义可知

$$\underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega} f_n d\mu \le \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \int_{\Omega} f_n d\mu$$

所以

$$\int_{\Omega}\lim_{n\to \infty} f_n d\mu=\underset{n\to \infty}{\lim \inf} \int_{\Omega} f_n d\mu = \underset{n\to \infty}{\lim \sup} \int_{\Omega} f_n d\mu = \underset{n\to \infty}{\lim } \int_{\Omega} f_n d\mu$$