Lecture 1 Probability Models and Axioms

MIT的概率公开课是非常好的学习资料,之前看过视频,但是没坚持学完,最近edx正好开新一版,借此机会把这门课看完,顺便记录一些笔记。

这次回顾第一讲,主要内容为概率的公理体系。

课程主页:https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm

edx版本:https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0

Part 1:课程回顾

概率论公理体系

建立概率,首先需要确定样本空间,其次是指定事件(样本空间的子集),概率是赋予事件的值,要满足如下几个公理:

  1. 非负性:

  2. 规范性:

  3. (有限可加性):如果$A \cap B=\varnothing$,那么

  4. (可列可加性):如果$A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$是不相交事件的序列,那么

推论

根据上述公理可以得到如下常用推论:

  1. $\mathbf{P}(A) \leq 1$

  2. $\mathrm{P}(\varnothing)=0$

  3. $\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}\left(A^{c}\right)=1​$

  4. $A,B,C$互不相交:

  5. 如果$A \subset B​$,那么$\mathbf{P}(A) \leq \mathbf{P}(B)​$

  6. $\mathbf{P}(A \cup B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A \cap B)​$

  7. $\mathbf{P}(A \cup B) \leq \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)$

  8. $\mathbf{P}(A \cup B \cup C)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}\left(A^{c} \cap B\right)+\mathbf{P}\left(A^{c} \cap B^{c} \cap C\right)$

  9. 概率的连续性:$A_{1}, A_{2}, \cdots$是一个单调递增的事件序列,即对每个$n$,$A_{n} \subset A_{n+1}$,记$A=\cup_{i=1}^\infty A_n​$,那么

  10. 概率的连续性:$A_{1}, A_{2}, \cdots$是一个单调递减的事件序列,即对每个$n$,$A_{n} \supset A_{n+1}$,记$A=\cap_{i=1}^\infty A_n$,那么

推论1-9的推导在课件以及课本里均有提及,推论10,11为课本1.2节习题13,。

Part 2:理论习题

课程以及课本每次会补充一些比较难的理论习题,后续每次课程都会总结这些内容。

1 Bonferroni’s inequality

对于$n$个事件$A_1,A_2,\ldots , A_ n$,我们有

证明:

2

(a)令

那么

并且

由概率的连续性可得

(b)令

那么

注意这里我们只能推出

所以无法得到

可以构造如下反例:

那么