第2章逻辑电路入门

最近开始补充数字逻辑相关知识，选择的教材为《数字逻辑基础与Verilog设计》。

教材评价：

https://book.douban.com/subject/2308122/

下载地址：

http://m.wdfxw.net/Fulltext44364042.htm

后续会定期回顾重点章节，这次回顾第2章：逻辑门和逻辑网络。

逻辑门和逻辑网络

逻辑门

常用逻辑门：

逻辑网络的分析

两个基本问题

分析：对已存在的逻辑网络，确认所实现的逻辑功能。
综合：设计一个新的网络，使该网络实现所要求的逻辑功能。

分析案例

实现逻辑函数

$f=\bar{x}_{1}+x_{1} \cdot x_{2}$

实现网络

真值表

时序图

简化网络

注意有如下关系

$\bar{x}_{1}+x_{1} \cdot x_{2}=\bar{x}_{1}+x_{2}$

于是得到如下简化的网络

布尔代数

布尔代数公理

1a. $0 \cdot 0=0$
1b. $1+1=1$
2a. $1 \cdot 1=1$
2b. $0+0=0$
3a. $0 \cdot 1=1 \cdot 0=0$
3b. $1+0=0+1=1$
4a. 若 $x=0,$ 则 $\bar{x}=1$
4b. 若 $x=1,$ 则 $\bar{x}=0$

单变量定理

5a. $x \cdot 0=0$
5b. $x+1=1$
6a. $x \cdot 1=x$
6b. $x+0=x$
7a. $x \cdot x=x$
7b. $x+x=x$
8a. $x \cdot \bar{x}=0$
8b. $x+\bar{x}=1$
9.$\overline{\bar{x}}=x$

对偶性

对偶表达式：对于一个逻辑表达式，将所有$”+”$操作符替换为$”.”$，将$”.”$操作符替换为$”+”$；将所有$0$替换为$1$，将所有$1$替换为$0$。

二变量和三变量性质

10a.$x \cdot y=y \cdot x$
10b.$x+y=y+x$
11a.$x \cdot(y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z$
11b.$x+(y+z)=(x+y)+z$
12a.$x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z$
12b.$x+y \cdot z=(x+y) \cdot(x+z)$
13a.$x+x \cdot y=x$
13b.$ x \cdot(x+y)=x$
14a.$x \cdot y+x \cdot \bar{y}=x$
14b.$(x+y) \cdot(x+\bar{y})=x$
15a.$\overline{x \cdot y}=\bar{x}+\bar{y}$
15b.$\overline{x+y}=\bar{x} \cdot \bar{y}$
16a.$x+\bar{x}\cdot y=x+y$
16b.$x \cdot(\bar{x}+y)=x \cdot y$
17a.$x \cdot y+y \cdot z+\bar{x} \cdot z=x \cdot y+\bar{x} \cdot z$
17b.$(x+y) \cdot(y+z) \cdot(\bar{x}+z)=(x+y) \cdot(\bar{x}+z)$

用与门、或门和非门进行综合

最小项

假设函数有$n$个变量，如果一个乘积项中包含全部$n$个变量，则称其为最小项，例如$\bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \bar{x}_{3}$（$n=3$）。

最大项

最小项的反：

积之和(SOP)

每个逻辑函数$f$可以用最小项之和表示，其中每个最小项是输入变量的相应取值和函数$f$值的逻辑与。考虑逻辑函数：

那么

$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\bar{x}_{1} \bar{x}_{2} x_{3}+x_{1} \bar{x}_{2} \bar{x}_{3}+x_{1} \bar{x}_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} \bar{x}_{3}$

化简可得

$\begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) &=\left(\bar{x}_{1}+x_{1}\right) \bar{x}_{2} x_{3}+x_{1}\left(\bar{x}_{2}+x_{2}\right) \bar{x}_{3} \\ &=1 \cdot \bar{x}_{2} x_{3}+x_{1} \cdot 1 \cdot \bar{x}_{3} \\ &=\bar{x}_{2} x_{3}+x_{1} \bar{x}_{3} \end{aligned}$

和之积

首先将$\bar f$表示为积之和的形式，然后取反得到和之积的形式，依然考虑之前的真值表：

那么

$\begin{aligned} \bar{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) &=m_{0}+m_{2}+m_{3}+m_{7} \\ &=\bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \bar{x}_{3}+\bar{x}_{1} x_{2} \bar{x}_{3}+\bar{x}_{1} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3} \end{aligned}$

取反可得

$\begin{aligned} f &=\overline{m_{0}+m_{2}+m_{3}+m_{7}} \\ &=\bar{m}_{0} \cdot \bar{m}_{2} \cdot \bar{m}_{3} \cdot \bar{m}_{7} \\ &=M_{0} \cdot M_{2} \cdot M_{3} \cdot M_{7} \\ &=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1}+\bar{x}_{2}+x_{3}\right)\left(x_{1}+\bar{x}_{2}+\bar{x}_{3}\right)\left(\bar{x}_{1}+\bar{x}_{2}+\bar{x}_{3}\right) \end{aligned}$