台交大信息论 Lecture 2

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这次回顾第二讲，主要介绍了一些基本数学知识，对应视频3-4，这里只回顾不太熟悉的部分。

Suprema和Limits概述

备注，该课程的讨论都在拓展实数集$\mathbb{R} \cup\{-\infty, \infty\}$上。

如果$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是不减函数，那么
$\begin{array}{l} \sup \{x \in \mathbb{R}: f(x)<\varepsilon\}=\inf \{x \in \mathbb{R}: f(x) \geq \varepsilon\} \\ \sup \{x \in \mathbb{R}: f(x) \leq \varepsilon\}=\inf \{x \in \mathbb{R}: f(x)>\varepsilon\} \end{array}$
如果$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是不增函数，那么
$\begin{array}{l} \sup \{x \in \mathbb{R}: f(x)>\varepsilon\}=\inf \{x \in \mathbb{R}: f(x) \leq \varepsilon\} \\ \sup \{x \in \mathbb{R}: f(x) \geq \varepsilon\}=\inf \{x \in \mathbb{R}: f(x)<\varepsilon\} \end{array}$

图示如下：

对于数列$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$，存在$N$，使得$n>N$时，$a_n$满足该属性。

对于数列$\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$，对每个$K$，存在$N>K$，$a_N$满足该属性。

上极限

$\varlimsup_{n\to\infty} a_n=\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}:=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{k \geq n} a_{k}\right)$

下极限

$\varliminf_{n\to \infty} a_n=\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}:=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\inf _{k \geq n} a_{k}\right)$

上极限在范围$\mathbb{R} \cup\{-\infty, \infty\}$内总存在。
如果$\left|\lim \sup _{m \rightarrow \infty} a_{m}\right|<\infty$，那么$(\forall \varepsilon>0)(\exists N)$使得$(\forall n>N)a_n <\lim \sup _{m \rightarrow \infty} a_{m}+\varepsilon$
如果$\left|\lim \sup _{m \rightarrow \infty} a_{m}\right|<\infty$，那么$(\forall \varepsilon>0$和整数$K)(\exists N > K)$使得$a_N>\lim \sup _{m \rightarrow \infty} a_{m}-\varepsilon$

下极限在范围$\mathbb{R} \cup\{-\infty, \infty\}$内总存在。
如果$\left|\lim \inf _{m \rightarrow \infty} a_{m}\right|<\infty$，那么$(\forall \varepsilon>0$和整数$K)(\exists N > K)$使得$a_N<\lim \inf _{m \rightarrow \infty} a_{m}+\varepsilon$
如果$\left|\lim \inf _{m \rightarrow \infty} a_{m}\right|<\infty$，那么$(\forall \varepsilon>0)(\exists N)$使得$(\forall n>N)a_n >\lim \inf _{m \rightarrow \infty} a_{m}-\varepsilon$

$\lim \inf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$
如果对于充分大的$n$，$a_n\le b_n$，那么
$\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \quad \text { and } \quad \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n}$
$\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}<r \Rightarrow a_{n}<r$对于充分大的$n$
$\lim \sup _{n \rightarrow \infty} a_{n}>r \Rightarrow a_{n}>r$对于无限多的$n$
$\begin{aligned} \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} & \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \\ & \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \\ & \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \\ & \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \end{aligned}$
如果$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$存在，那么
$\begin{aligned} \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)&=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \\ \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)&=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \end{aligned}$

对于任意$x,y,a\in \mathbb R$，