Digital Signal Processing 2 Filtering Week1

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这一讲介绍了Digital Filters。

线性时不变系统

通用的信号处理系统：

公式如下：

$$y[n]=\mathcal{H}\{x[n]\}$$

线性性

线性性是指满足如下性质：

$$\mathcal{H}\left\{\alpha x_{1}[n]+\beta x_{2}[n]\right\}=\alpha \mathcal{H}\left\{x_{1}[n]\right\}+\beta \mathcal{H}\left\{x_{2}[n]\right\}$$

时不变性

时不变性是指满足如下性质：

$$y[n]=\mathcal{H}\{x[n]\} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathcal{H}\left\{x\left[n-n_{0}\right]\right\}=y\left[n-n_{0}\right]$$

线性时不变性(LTI)

线性时不变性是指同时满足线性性以及时不变性。

卷积

$x,h$的卷积定义为：

$$(x * h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$$

基本性质：

• 线性性和时不变性
• 交换性：$(x h)[n]=(h x)[n]$
• 结合性：$((x h) w)[n]=(x (h w))[n]$

脉冲响应

脉冲响应为：

$$h[n]=\mathcal{H}\{\delta[n]\}$$

重要结果：脉冲响应完全刻画了LTI系统。

脉冲响应完全刻画了LTI系统

对恒等式

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k]$$

两边作用$\mathcal H$得到（利用线性性和时不变性）

$$\begin{aligned} y[n] &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] \\ &=(x * h)[n] \end{aligned}$$

滤波

滑动平均滤波

移动平均滤波考虑前$M$项的均值：

$$y[n]=\frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]$$

脉冲响应

$$\begin{aligned} h[n] &=\frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} \delta[n-k] \\ &=\left\{\begin{array}{ll} 1 / M & \text { for } 0 \leq n<M \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right. \end{aligned}$$

递推式

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]&=x[n]+\sum_{k=1}^{M-1} x[n-k] \\ My_M[n]&=x[n]+(M-1) y_{M-1}[n-1]\\ y_{M}[n]&=\frac{M-1}{M} y_{M-1}[n-1]+\frac{1}{M} x[n]\\ y_{M}[n]&=\lambda y_{M-1}[n-1]+(1-\lambda) x[n], \quad \lambda=\frac{M-1}{M} \end{aligned}$$

对最后一个式子推广即得到Leaky integrator。

Leaky integrator

$$y[n]=\lambda y[n-1]+(1-\lambda) x[n]$$

一般选择

$$0<\lambda <1$$

脉冲响应

$$y[n]=\lambda y[n-1]+(1-\lambda) \delta[n]$$

递推可得

$$\begin{array}{l} y[n]=0 \text { for all } n<0 \\ y[0]=\lambda y[-1]+(1-\lambda) \delta[0]=(1-\lambda) \\ y[1]=\lambda y[0]+(1-\lambda) \delta[1]=\lambda(1-\lambda) \\ y[2]=\lambda y[1]+(1-\lambda) \delta[2]=\lambda^{2}(1-\lambda) \\ y[3]=\lambda y[2]+(1-\lambda) \delta[3]=\lambda^{3}(1-\lambda) \end{array}$$

推广可得

$$h[n]=(1-\lambda) \lambda^{n} u[n]$$

滤波稳定性

分类

有限脉冲响应(FIR)

• 脉冲响应有紧支集
• 每个输出样本的计算只涉及有限数量的样本

例如滑动平均。

无限脉冲响应(IIR)

• 无紧支集
• 每个输出样本的计算中涉及的样本数量可能是无限的
• 在许多情况下，计算仍然可以在有限的步骤中执行

例如Leaky integrator。

causal

• 对于$n <0$，脉冲响应为零
• 每个输出样本的计算中仅涉及过去的样本（相对于现在）
• causal滤波器可以“在线”运行，因为它们只需要过去的信息

noncausal

• 对于某些（或全部）$n <0$，脉冲响应非零
• 仍可以离线方式实现

稳定性

• BIBO稳定性：输入有界，输出有界

稳定性基本定理

滤波是BIBO当且仅当脉冲响应绝对可和。

证明：

$\Rightarrow$

假设：

• $|x[n]|<M$
• $\sum_{n}|h[n]|=L<\infty$

结论：

• $|y[n]|$有界

直接证明即可：

$$\begin{aligned} |y[n]| &=\left|\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k]\right| \\ & \leq \sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k] x[n-k]| \\ & \leq M \sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]| \\ & \leq M L \end{aligned}$$

$\Leftarrow$

假设：

• $|x[n]|<M $
• $|y[n]|<P$

结论：

• $h[n]$绝对可和

利用反证法：

假设

$$\sum_{n}|h[n]|=\infty$$

构造如下输入

$$x[n]=\left\{\begin{array}{ll} +1 & \text { if } h[-n] \geq 0 \\ -1 & \text { if } h[-n]<0 \end{array}\right.$$

显然$x[n]$有界，但是

$$y[0]=(x * h)[0]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h[k]|=\infty$$

各类脉冲的稳定性

• FIR总是稳定的
• Leaky integrator是稳定的

下面验证第二点：

$$\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]| &=|1-\lambda| \sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^{n} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}|1-\lambda| \frac{1-|\lambda|^{n+1}}{1-|\lambda|} \\ &<\infty \quad \text { for }|\lambda|<1 \end{aligned}$$

这里的约束条件为

$$|\lambda|<1$$

频率响应

频率响应

考虑特殊的输入：

计算可得：

$$\begin{aligned} y[n] &=e^{j \omega_{0} n} * h[n] \\ &=h[n] * e^{j \omega_{0} n} \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] e^{j \omega_{0}(n-k)} \\ &=e^{j \omega_{0} n} \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] e^{-j \omega_{0} k} \\ &=H\left(e^{j \omega_{0}}\right) e^{j \omega_{0} n} \end{aligned}$$

所以：

• 复指数是LTI系统的特征序列，即线性滤波器无法更改正弦波的频率（即$\omega_0$）
• 脉冲响应的DTFT决定滤波器的频率特性

如果

$$H\left(e^{j \omega_{0}}\right)=A e^{j \theta}$$

那么

$$\mathcal{H}\left\{\mathrm{e}^{j \omega_{0} n}\right\}=A \mathrm{e}^{j\left(\omega_{0} n+\theta\right)}$$

卷积定理

$$\begin{aligned} \text { DTFT }\{y[n]\} &=\text { DTFT }\{x[n] * h[n]\}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x * h)[n] e^{-j \omega n} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] e^{-j \omega n} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k] e^{-j \omega(n-k)} e^{-j \omega k} \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-j \omega k} \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n-k] e^{-j \omega(n-k)} \\ &=H\left(e^{j \omega}\right) X\left(e^{j \omega}\right) \end{aligned}$$

注意到

$$H\left(e^{j \omega}\right)=\mathrm{DTFT}\{h[n]\}$$

所以有两种效果：

• 振幅：放大（$\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right|>1$）或衰减（$\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right|<1$）
• 相位：整体延迟和形状变化

理想滤波

在频域划分滤波

• 低通
• 高通
• 带通
• 全通

理想低通

公式如下

$$H\left(e^{j \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { for }|\omega| \leq \omega_{c} \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

做逆变换可得

$$\begin{aligned} h[n] &=\operatorname{IDTFT}\left\{H\left(e^{j \omega}\right)\right\} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} H\left(e^{j \omega}\right) e^{j \omega n} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\omega_{C}}^{\omega_{C}} e^{j \omega n} d \omega \\ &=\frac{1}{\pi n} \frac{e^{j \omega_{C} n}-e^{-j \omega_{C} n}}{2 j} \\ &=\frac{\sin \omega_{C} n}{\pi n} \end{aligned}$$

上述脉冲响应没有紧支集，实际中很难使用。

sinc-rect对

对上述内容进行总结，首先定义

$$\begin{array}{l} \operatorname{rect}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & |x| \leq 1 / 2 \\ 0 & |x|>1 / 2 \end{array}\right. \\ \operatorname{sinc}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin (\pi x)}{\pi x} & x \neq 0 \\ 1 & x=0 \end{array}\right. \end{array}$$

那么两者有如下关系

$$\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \omega_{c}}\right) \quad \stackrel{\mathrm{DTFT}}{\longrightarrow} \quad \frac{\omega_{c}}{\pi} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_{c}}{\pi} n\right)$$

$\text{sinc}$不是绝对可和，所以理想低通滤波器不是BIBO稳定。

理想高通

公式如下

$$H_{h p}\left(e^{j \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { for } \pi \geq|\omega| \geq \omega_{c} \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

不难看出

$$H_{h p}\left(e^{j \omega}\right)=1-H_{l p}\left(e^{j \omega}\right)$$

其中lp表示是低通，取逆变换可得

$$h_{h p}[n]=\delta[n]-\frac{\omega_{c}}{\pi} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_{c}}{\pi} n\right)$$

带通

公式如下

$$H_{b p}\left(e^{j \omega}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { for }\left|\omega \pm \omega_{0}\right| \leq \omega_{c} \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right.$$

不难看出

$$H_{h p}\left(e^{j \omega}\right)=H_{l p}\left(e^{j (\omega-\omega_0)}\right)+H_{l p}\left(e^{j (\omega+\omega_0)}\right)$$

取逆变换可得

$$\begin{aligned} h_{b p}[n] &=\left(e^{-j \omega_0 n}+e^{j \omega_0n}\right)\frac{\omega_{c}}{\pi} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_{c}}{\pi}n\right)\\ &= 2 \cos \left(\omega_{0} n\right) \frac{\omega_{c}}{\pi} \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_{c}}{\pi} n\right) \end{aligned}$$