EE263 Lecture 19 Controllability and state transfer

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263

这次回顾第十九讲，这一讲介绍了可控性和状态转移。

可控性系统

系统被称为可达或可控，如果所有状态可达（即$\mathcal R = \mathbb R^n$）

系统为可达当且仅当$\operatorname{Rank}(\mathcal{C})=n$，注意

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{llll}{B} & {A B} & {\cdots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]$$

例子：

$$x(t+1)=\left[\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{c}{1} \\ {1}\end{array}\right] u(t)$$

控制矩阵为

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right]$$

可达集合为

$$\mathcal{R}=\operatorname{range}(\mathcal{C})=\left\{x | x_{1}=x_{2}\right\}$$

一般的状态转移

对于$t_{f}>t_{i}$，我们有

$$x\left(t_{f}\right)=A^{t_{f}-t_{i}} x\left(t_{i}\right)+\mathcal{C}_{t_{f}-t_{i}}\left[\begin{array}{c}{u\left(t_{f}-1\right)} \\ {\vdots} \\ {u\left(t_{i}\right)}\end{array}\right]$$

因此将$x\left(t_{i}\right)$转移到$x\left(t_{f}\right)=x_{\mathrm{des}}$等价于

$$x_{\mathrm{des}}-A^{t_{f}-t_{i}} x\left(t_{i}\right) \in \mathcal{R}_{t_{f}-t_{i}}$$

注意

$$\mathcal{R}_{t}=\left\{\begin{array}{ll}{\operatorname{range}\left(\mathcal{C}_{t}\right)} & {t<n} \\ {\operatorname{range}(\mathcal{C})} & {t \geq n}\end{array}\right.$$

这说明

• 一般的的状态转移可以化成可达性问题
• 如果系统是可控的，那么任何状态可以在$\le n$步到达
• 重要的特殊情形：将状态变为$0$

可达性的最小范数输入

假设系统可达，即$\operatorname{Rank}\left(\mathcal{C}_{t}\right)=n$

为了将$x(0)=0$转移到$x(t)=x_{\mathrm{des}}$，输入$u(0), \ldots, u(t-1)$必须满足

$$x_{\mathrm{des}}=\mathcal{C}_{t}\left[\begin{array}{c}{u(t-1)} \\ {\vdots} \\ {u(0)}\end{array}\right]$$

对所有满足条件的$u$，使得下式最小化

$$\sum_{\tau=0}^{t-1}\|u(\tau)\|^{2}$$

的$u$由最小范数解给出

$$\left[\begin{array}{c}{u_{\ln }(t-1)} \\ {\vdots} \\ {u_{\ln }(0)}\end{array}\right]=\mathcal{C}_{t}^{T}\left(\mathcal{C}_{t} \mathcal{C}_{t}^{T}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}}$$

$u_{\ln }$被称为最小范数或最小能量输入。

将

$$\mathcal{C}_{t}=\left[\begin{array}{llll}{B} & {A B} & {\cdots} & {A^{t-1} B}\end{array}\right]$$

带入可得

$$u_{\ln }(\tau)=B^{T}\left(A^{T}\right)^{(t-1-\tau)}\left(\sum_{s=0}^{t-1} A^{s} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{s}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}}$$

其中$\tau=0, \ldots, t-1$。

$\mathcal{E}_{\mathrm{min}}$，即到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的$\sum_{\tau=0}^{t-1}|u(\tau)|^{2}$的最小值，有时被称为到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的最小能量

$$\begin{aligned} \mathcal{E}_{\min } &=\sum_{\tau=0}^{t-1}\left\|u_{\ln (\tau)}\right\|^{2} \\ &=\left(\mathcal{C}_{t}^{T}\left(\mathcal{C}_{t} \mathcal{C}_{t}^{T}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}}\right)^{T} \mathcal{C}_{t}^{T}\left(\mathcal{C}_{t} \mathcal{C}_{t}^{T}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}} \\ &=x_{\mathrm{des}}^{T}\left(\mathcal{C}_{t} \mathcal{C}_{t}^{T}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}} \\ &=x_{\mathrm{des}}^{T}\left(\sum_{\tau=0}^{t-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}} \end{aligned}$$

• $\mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, t\right)$给出度量从$x(0)=0$到达$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的难易程度
• $\mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, t\right)$给出可控性/可达性的实际度量（关于$x_{\mathrm{des}}, t$的函数）
• 椭球$\left\{z | \mathcal{E}_{\min }(z, t) \leq 1\right\}$给出在$t$时刻，单位能量可达的状态空间

考虑$\mathcal{E}_{\min }$和$t$的关系：

如果$t\ge s$，那么

$$\sum_{\tau=0}^{t-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau} \geq \sum_{\tau=0}^{s-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau}$$

因此

$$\left(\sum_{\tau=0}^{t-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau}\right)^{-1} \leq\left(\sum_{\tau=0}^{s-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau}\right)^{-1}$$

从而

$$\mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, t\right) \leq \mathcal{E}_{\min }\left(x_{\mathrm{des}}, s\right)$$

即，使用更少的能量更悠闲的到达某处。

无限时间的最小能量

矩阵

$$P=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\sum_{\tau=0}^{t-1} A^{\tau} B B^{T}\left(A^{T}\right)^{\tau}\right)^{-1}$$

总存在，并且给出了到达$x_{\mathrm{des}}$的最小能量：

$$\min \left\{\sum_{\tau=0}^{t-1}\|u(\tau)\|^{2} | x(0)=0, x(t)=x_{\mathrm{des}}\right\}=x_{\mathrm{des}}^{T} P x_{\mathrm{des}}$$

如果$A$稳定，那么$P>0$（即，无法免费到达任何地方）

如果$A$不稳定，那么$P$可能有非平凡零空间

• $Pz=0,z\neq 0$说明可以用能量为任意小的$u$到达$z$
• 上述事实为高度机动，不稳定的飞机的基础

连续时间的可达性

考虑

$$\dot{x}=A x+B u, x(t)\in \mathbb R^n$$

在时间$t$的可达集合为

$$\mathcal{R}_{t}=\left\{\int_{0}^{t} e^{(t-\tau) A} B u(\tau) d \tau \Big| u :[0, t] \rightarrow \mathbb{R}^{m}\right\}$$

事实：对$t>0, \mathcal{R}_{t}=\mathcal{R}=\operatorname{range}(\mathcal{C})$，其中

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{llll}{B} & {A B} & {\cdots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]$$

为矩阵$(A,B)$的可控性矩阵。

• $\mathcal R $和离散情形相同
• 对于连续时间系统，任何可到达的点都可以以任意时间到达（使用足够大的$u$）

证明：

首先证明对任意$u$（以及$x(0)=0 $）我们有$x(t) \in \operatorname{range}(\mathcal{C})$

将$e^{tA}$写成幂级数：

$$e^{t A}=I+\frac{t}{1 !} A+\frac{t^{2}}{2 !} A^{2}+\cdots$$

根据C-H定理，用$A^{0}, \ldots, A^{n-1}$表达$A^{n}, A^{n+1}, \dots$，得到

$$e^{t A}=\alpha_{0}(t) I+\alpha_{1}(t) A+\cdots+\alpha_{n-1}(t) A^{n-1}$$

因此

$$\begin{aligned} x(t) &=\int_{0}^{t} e^{\tau A} B u(t-\tau) d \tau \\ &=\int_{0}^{t}\left(\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_{i}(\tau) A^{i}\right) B u(t-\tau) d \tau\\ &=\sum_{i=0}^{n-1} A^{i} B \int_{0}^{t} \alpha_{i}(\tau) u(t-\tau) d \tau \\ &=\mathcal{C} z\end{aligned}$$

其中

$$z_{i}=\int_{0}^{t} \alpha_{i}(\tau) u(t-\tau) d \tau$$

因此，$x(t)\in \operatorname{range}(\mathcal{C})$。

还需证明$ \operatorname{range}(\mathcal{C})$中每个点可达。

脉冲输入

假设$x\left(0_{-}\right)=0$，输入为$u(t)=\delta^{(k)}(t) f$，其中$\delta^{(k)}$为$\delta $的$k$阶导数，$f\in \mathbb R^m$，从而拉普拉斯变换为

$$U(s)=s^{k} f$$

（参考资料）

所以

$$\begin{aligned} X(s) &=(s I-A)^{-1} B s^{k} f \\ &=\left(s^{-1} I+s^{-2} A+\cdots\right) B s^{k} f \\ &=\left(\underbrace{s^{k-1}+\cdots+s A^{k-2}+A^{k-1}}_{\text { impulsive terms }}+s^{-1} A^{k}+\cdots\right) B f \end{aligned}$$

因此

$$x(t)=\text { impulsive terms }+A^{k} B f+A^{k+1} B f \frac{t}{1 !}+A^{k+2} B f \frac{t^{2}}{2 !}+\cdots$$

特别的，$x\left(0_{+}\right)=A^{k} B f$。

因此，输入$u=\delta^{(k)} f$将状态$x\left(0_{-}\right)=0$转移到$x\left(0_{+}\right)=A^{k} B f$

现在考虑如下形式的输入

$$u(t)=\delta(t) f_{0}+\cdots+\delta^{(n-1)}(t) f_{n-1}$$

其中$f_i \in \mathbb R^m$

由线性性，我们有

$$x\left(0_{+}\right)=B f_{0}+\cdots+A^{n-1} B f_{n-1}=\mathcal{C}\left[\begin{array}{c}{f_{0}} \\ {\vdots} \\ {f_{n-1}}\end{array}\right]$$

所以我们可以到达$\operatorname{range}(\mathcal{C})$中任意一点（使用脉冲输入），同样可以证明不使用脉冲输入也能够做到这点。

事实：如果$x(0) \in \mathcal{R}$，那么对所有$t$，$x(t) \in \mathcal{R}$

例子

• 单位质量在$y_1,y_2$，由单位弹簧，阻尼器连接
• 输入为物体间的力
• 状态为$x=\left[y^{T} \quad \dot{y}^{T}\right]^{T}$

图如下：

系统为

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{rrrr}{0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {-1} & {1} & {-1} & {1} \\ {1} & {-1} & {1} & {-1}\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{r}{0} \\ {0} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right] u$$

控制矩阵为

$$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{lllll}{B} & {A B} & {A^{2} B} & {A^{3} B}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrr}{0} & {1} & {-2} & {2} \\ {0} & {-1} & {2} & {-2} \\ {1} & {-2} & {2} & {0} \\ {-1} & {2} & {-2} & {0}\end{array}\right]$$

可达集合为

$$\mathcal{R}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}{1} \\ {-1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}{0} \\ {0} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right]\right\}$$

可达的集合满足$y_{1}=-y_{2}, \dot{y}_{1}=-\dot{y}_{2}$。

结果是显然的，因为内力不会影响中心位置或总动量。

连续时间可达性的最小范数输入

假设$\dot{x}=A x+B u$可达

我们寻找$u$，使得其将$x(0)=0$转移到$x(t)=x_{\mathrm{des}}$，并且最小化

$$\int_{0}^{t}\|u(\tau)\|^{2} d \tau$$

将系统离散化，间隔为$h=t/N$（后续令$N\to \infty$）

所以$u$为分段常数

$$u(\tau)=u_{d}(k) \text { for } k h \leq \tau<(k+1) h, \quad k=0, \ldots, N-1$$

所以

$$x(t)= \left[\begin{matrix} B_{d} &A_{d} B_{d} & \cdots & A_{d}^{N-1} B_{d} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}{u_{d}(N-1)} \\ \vdots \\ {u_{d}(0)}\end{matrix}\right]$$

其中

$$A_{d}=e^{h A}, \quad B_{d}=\int_{0}^{h} e^{\tau A} d \tau B$$

（具体推导参考第15讲）

产生$x(t)=x_{\mathrm{des}}$的最小范数$u_d$为

$$u_{\mathrm{dln}}(k)=B_{d}^{T}\left(A_{d}^{T}\right)^{(N-1-k)}\left(\sum_{i=0}^{N-1} A_{d}^{i} B_{d} B_{d}^{T}\left(A_{d}^{T}\right)^{i}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}}$$

因为

$$h(N-1-k) =t\frac{N-1-k}{N} \approx t- \tau$$

用$A$表达上式：

$$B_{d}^{T}\left(A_{d}^{T}\right)^{(N-1-k)} =B_{d}^{T} e^{h(N-1-k) A^{T}} =B_{d}^{T} e^{(t-\tau) A^{T}}$$

当$N$充分大时，$B_{d} \approx(t / N) B$，所以有如下近似

$$(t / N) B^{T} e^{(t-\tau) A^{T}}$$

类似的，我们有

$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{N-1} A_{d}^{i} B_{d} B_{d}^{T}\left(A_{d}^{T}\right)^{i} &=(t / N) ^2\sum_{k=0}^{N-1} e^{(t i / N) A} B_{d} B_{d}^{T} e^{(t i / N) A^{T}} \\ & \approx(t / N) \int_{0}^{t} e^{\overline{t} A} B B^{T} e^{\overline{t} A^{T}} d \overline{t} \end{aligned}$$

因此离散化的最小范数输入近似于

$$u_{\ln }(\tau)=B^{T} e^{(t-\tau) A^{T}}\left(\int_{0}^{t} e^{\overline t A} B B^{T} e^{\overline{t} A^{T}} d \overline{t}\right)^{-1} x_{\mathrm{des}}, \quad 0 \leq \tau \leq t$$

因此，存在最小范数连续输入，使得

• 可以使得$t$很小，但是得到较大的$u$
• 和DT情形的区别为将求和变成积分

最小能量为

$$\int_{0}^{t}\left\|u_{\ln }(\tau)\right\|^{2} d \tau=x_{\mathrm{des}}^{T} Q(t)^{-1} x_{\mathrm{des}}$$

其中

$$Q(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau A} B B^{T} e^{\tau A^{T}} d \tau$$

可以证明

$$\begin{aligned}(A, B) \text { controllable } & \Leftrightarrow Q(t)>0 \text { for all } t>0 \\ & \Leftrightarrow Q(s)>0 \text { for some } s>0 \end{aligned}$$

实际上，对任意$t>0$，我们有$\operatorname{range}(Q(t))=\mathcal{R}$