EE261 Lecture 26 and Lecture 27

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这次回顾第二十六讲，二十七讲，这一讲介绍了高维傅里叶变换。

记号

这部分讨论高维傅里叶变换，为了和一维形式接近，首先引入一些记号：

$$\begin{aligned} \mathbf{x}&=\left(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\right)\\ \xi&=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\right)\\ -\xi&=\left(-\xi_{1}, \ldots,-\xi_{n}\right)\\ \mathrm{x} \cdot \xi&=x_{1} \xi_{1}+x_{2} \xi_{2}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \end{aligned}$$

傅里叶变换

利用上述集合，定义傅里叶变换及其逆变换：

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(\boldsymbol{\xi})&=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{-2 \pi i \mathbf{x} \cdot \xi} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}\\ \mathcal{F}^{-1} g(\mathrm{x})&=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{2 \pi i x \cdot \xi} g(\xi) d \xi \end{aligned}$$

在上述定义下，我们有

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(-\xi) &=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{-2 \pi i \mathbf{x} \cdot(- \xi)} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}\\ &=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{2 \pi i \mathbf{x} \cdot} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}\\ &=\mathcal{F}^{-1} f(\xi) \end{aligned}$$

补充定义

$$f^{-}(\xi)=f(-\xi)$$

那么和一维情形类似，我们有

$$\mathcal{F} f^{-}=(\mathcal{F} f)^{-}, \quad(\mathcal{F} f)^{-}=\mathcal{F}^{-1} f$$

可分离变量函数的傅里叶变换

我们称函数是可分离变量的，如果

$$f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right) f_{2}\left(x_{2}\right) \cdots f_{n}\left(x_{n}\right)$$

在这种情形下，函数的傅里叶变换很好求出，例如在二维情形下，

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) &=\int_{\mathbf{R}^{n}} e^{-2 \pi i \mathbf{x} \cdot \xi} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i\left(x_{1} \xi_{1}+x_{2} \xi_{2}\right)} f\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i \xi_{1} x_{1}} e^{-2 \pi i \xi_{2} x_{2}} f_{1}\left(x_{1}\right) f_{2}\left(x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i \xi_{1} x_{1}} f_{1}(x) d x_{1}\right) e^{-2 \pi i \xi_{2} x_{2}} f_{2}\left(x_{2}\right) d x_{2} \\ &=\mathcal{F} f_{1}\left(\xi_{1}\right) \mathcal{F} f_{2}\left(\xi_{2}\right) \end{aligned}$$

$n$维情形同理可得：

$$\mathcal{F} f\left(\xi_{1}, x_{2}, \ldots \xi_{n}\right)=\mathcal{F} f_{1}\left(\xi_{1}\right) \mathcal{F} f_{2}\left(\xi_{2}\right) \cdots \mathcal{F} f_{n}\left(\xi_{n}\right)$$

例子

方波

考虑二维方波函数

$$\Pi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {-\frac{1}{2}<x_{1}<\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<x_{2}<\frac{1}{2}} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.$$

不难看出我们有

$$\Pi\left(x_{1}, x_{2}\right)=\Pi\left(x_{1}\right) \Pi\left(x_{2}\right)$$

取傅里叶变换得到

$$\mathcal{F} \Pi\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)=\operatorname{sinc} \xi_{1} \operatorname{sinc} \xi_{2}$$

类似的，如果考虑一般情形的方波函数，即定义域为$-a_{1} / 2<x_{1}<a_{1} / 2,-a_{2} / 2<x_{2}<a_{2} / 2$，此时

$$\Pi_{a_{1} a_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\Pi_{a_{1}}\left(x_{1}\right) \Pi_{a_{2}}\left(x_{2}\right)$$

那么

$$\mathcal{F} \Pi_{a_{1} a_{2}}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)=\left(a_{1} \operatorname{sinc} a_{1} \xi_{1}\right)\left(a_{2} \operatorname{sinc} a_{2} \xi_{2}\right)$$

更一般的，考虑$n$维方波

$$\Pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {-\frac{1}{2}<x_{k}<\frac{1}{2}, \quad k=1, \ldots, n} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.$$

我们有

$$\Pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\Pi\left(x_{1}\right) \Pi\left(x_{2}\right) \cdots \Pi\left(x_{n}\right)$$

取傅里叶变换可得

$$\mathcal{F} \Pi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\right)=\operatorname{sinc} \xi_{1} \operatorname{sinc} \xi_{2} \cdots \operatorname{sinc} \xi_{n}$$

高斯函数

考虑标准高斯函数

$$g(\mathrm{x})=e^{-\pi\|\mathrm{x}\|^{2}}=e^{-\pi\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)}$$

我们有

$$\begin{aligned} g\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) &=e^{-\pi\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)}\\ &=e^{-\pi x_{1}^{2}} e^{-\pi x_{2}^{2}} \cdots e^{-\pi x_{n}^{2}}\\ &=h\left(x_{1}\right) h\left(x_{2}\right) \cdots h\left(x_{n}\right) \end{aligned}$$

其中

$$h\left(x_{k}\right)=e^{-\pi x_{k}^{2}}$$

取傅里叶变换可得

$$\begin{aligned} \mathcal{F} g(\xi) &=e^{-\pi \xi_{1}^{2}} e^{-\pi \xi_{2}^{2}} \cdots e^{-\pi \xi_{n}^{2}}\\ &=e^{-\pi\left(\xi_{1}^{2}+\xi_{2}^{2}+\cdots+\xi_{n}^{2}\right)}\\ &=e^{-\pi \| x\|^{2}} \end{aligned}$$

径向函数的傅里叶变换

径向函数是指可以表示为到原点距离的函数，这里以二维情形来讨论，首先考虑点的极坐标表示

$$\begin{aligned} \left(x_{1}, x_{2}\right)&=(r, \theta) \\ \left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)&=(\rho, \phi) \end{aligned}$$

利用内积定义，我们有

$$\mathrm{x} \cdot \xi=\|\mathrm{x}\|\|\xi\| \cos (\theta-\phi)=r \rho \cos (\theta-\phi)$$

取傅里叶变换得到

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i \mathbf{x} \cdot \xi} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} f(r) e^{-2 \pi i r \rho \cos (\theta-\phi)} r d r d \theta$$

现在考虑积分

$$\int_{0}^{2 \pi} e^{-2 \pi i r \rho \cos (\theta-\phi)} d \theta$$

我们有如下结论，如果$g$的周期为$2\pi$， 那么

$$\int_{0}^{2 \pi} g(\theta-\phi) d \theta=\int_{0}^{2 \pi} g(\theta) d \theta$$

证明：

令$\theta = \phi +t$，那么

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2 \pi} g(\theta-\phi) d \theta &=\int_{\phi}^{2 \pi +\phi} g(t) dt\\ &=\int_{0}^{2 \pi} g(t) d t\\ &=\int_{0}^{2 \pi} g(\theta) d \theta \end{aligned}$$

所以

$$\int_{0}^{2 \pi} e^{-2 \pi i r \rho \cos (\theta-\phi)} d \theta=\int_{0}^{2 \pi} e^{-2 \pi i r \rho \cos \theta} d \theta$$

不难看出上述积分无法求出，所以这里引入如下函数

$$J_{0}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{-i a \cos \theta} d \theta$$

该函数被称为$0$阶第一类贝塞尔函数。

在上述记号下，我们有

$$\int_{0}^{2 \pi} e^{-2 \pi i r \rho \cos \theta} d \theta=2 \pi J_{0}(2 \pi r \rho)$$

并且$f(r)$的傅里叶变换为

$$F(\rho)=2 \pi \int_{0}^{\infty} f(r) J_{0}(2 \pi r \rho) r d r$$

这说明径向函数的傅里叶变换也为径向函数。（$F(\rho)$也被称为$f(r)$的零阶汉高变换）

例子

考虑

$$\operatorname{circ}(r)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {r<1} \\ {0} & {r \geq 1}\end{array}\right.$$

那么

$$\mathcal{F} \operatorname{circ}(\rho)=2 \pi \int_{0}^{1} J_{0}(2 \pi r \rho) r d r$$

令$u=2\pi r\rho$，那么

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \operatorname{circ}(\rho) &=\frac{1}{2 \pi \rho^{2}} \int_{0}^{2 \pi \rho} u J_{0}(u) d u \end{aligned}$$

贝塞尔函数有如下性质

$$\int_{0}^{x} u J_{0}(u) d u=x J_{1}(x)$$

其中$J_1$为一阶贝塞尔函数。

因此

$$\mathcal{F} \operatorname{circ}(\rho)=\frac{J_{1}(2 \pi \rho)}{\rho}$$

定义

$$\operatorname{jinc}(\rho)=\frac{J_{1}(\pi \rho)}{2 \rho}$$

那么

$$\mathcal{F} \operatorname{circ}(\rho)=4 \operatorname{jinc}(2 \rho)$$