EE261 Lecture 16

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这次回顾第十六讲，这一讲介绍了shah函数。

这部分从X射线的波长测量开始，由于X射线的波长很短，无法用衍射现象测量，后来人们借助晶体来测量，晶体具有周期性，其电子密度可以写成

$$\rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-k p)$$

注意到

$$\rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-p k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p) * \rho(x)=\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)\right) * \rho(x)$$

引入如下记号

$$\text{III}_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)$$

所以我们有

$$\rho_{p}=\text{III}_{p} * \rho$$

我们称$\text{III}_p$为shah函数，也称为Dirac comb函数，其中$p$为间隔。利用卷积定理，我们可得

$$\mathcal{F} \rho_{p}=\mathcal{F} \rho \cdot \mathcal{F} \text{III}_{p}$$

$\text{III}$分布

标准的shah函数的$p=1$，即

$$\text{III}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k) \quad \text { or } \quad \text{III}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k}$$

一般情形为

$$\text{III}_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p) \quad \text { or } \quad \text{III}_{p}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p}$$

将其视为分布，那么我们有

$$\left\langle\text{III}_{p}, \varphi\right\rangle=\left\langle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k p}, \varphi\right\rangle=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left\langle\delta_{k p}, \varphi\right\rangle=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k p)$$

使用$\text{III}$周期化

利用shah函数，我们可得

$$\left(f * \text{III}_{p}\right)(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t-p k)$$

即shah函数可以将函数周期化。

接着回顾方波函数

$$\Pi_{p}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {|x|<p / 2} \\ {0} & {|x| \geq p / 2}\end{array}\right.$$

现在假设函数$f=0,|t|\ge p/2$，那么

$$\begin{aligned} f&=\Pi_{p}f\\ f&=\Pi_{p}\left(f * \text{III}_{p}\right) \end{aligned}$$

第一个结论是显然的，第二个结论也不难理解，先将其周期化，然后再截断必然等于原函数，下面从代数角度验证这点：

$$\begin{aligned} \Pi_{p}(t)\left(f * \text{III}_{p}\right)(t) &=\Pi_{p}(t)\left(\left(\Pi_{p} f\right) * \text{III}_{p}\right)(t) \\ &=\Pi_{p}(t) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Pi_{p}(t-k p) f(t-k p) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \Pi_{p}(t) \Pi_{p}(t-k p) f(t-k p)\\ &=\Pi_{p}(t) f(t)\\ &=f(t) \end{aligned}$$

其中导数第二个等式用到了如下事实

$$\Pi_{p}(t) \Pi_{p}(t-k p)=\left\{\begin{array}{ll}{\Pi_{p}(t)} & {k=0} \\ {0} & {k \neq 0}\end{array}\right.$$

$\text{III}$函数的性质

首先回顾定义

$$\text{III}_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p)$$

考虑

$$\text{III}(p x )=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(p x-k)$$

对于$\delta$函数，我们有

$$\delta(p x)=\frac{1}{p} \delta(x)$$

所以

$$\begin{aligned} \text{III}(p x) &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(p x-k) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(p\left(x-\frac{k}{p}\right)\right) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{p} \delta\left(x-\frac{k}{p}\right)\\ &=\frac{1}{p} \Pi_{1 / p}(x) \end{aligned}$$

所以

$$\text{III}(p x)=\frac{1}{p} \text{III}_{1 / p}(x)$$

另一方面

$$\begin{aligned} \text{III}_{p}(x) &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k p) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(p\left(\frac x p-\frac{k}{p}\right)\right) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{p} \delta\left(\frac x p-\frac{k}{p}\right)\\ &=\frac{1}{p}\text{III}\left(\frac{1}{p} x\right) \end{aligned}$$

所以

$$\text{III}_{p}(x)=\frac{1}{p}\text{III}\left(\frac{1}{p} x\right)$$

$\text{III}$的傅里叶变换

特殊情形

首先考虑$p=1$的情形，此时我们有

$$\text{III}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k)$$

所以我们有

$$\mathcal{F} \text{III}(s)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i k s}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i k s}$$

上式显然无法收敛，所以只能将上式视为分布，下面从分布角度理解：

$$\langle \mathcal{F} \text{III},\varphi\rangle= \langle\text{III}, \mathcal{F} \varphi\rangle=\left\langle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k}, \mathcal{F} \varphi\right\rangle=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left\langle\delta_{k}, \mathcal{F} \varphi\right\rangle=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(k)$$

为了后续处理，这里先介绍泊松恒等式：

泊松恒等式

假设$\varphi $是速降函数，那么

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k)$$

先使用上述结论，后面补充证明。

利用上式，我们有

$$\begin{aligned} \langle\mathcal{F} \text{III} , \varphi\rangle &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(k) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left\langle\delta_{k}, \varphi\right\rangle \\ &=\left\langle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta_{k}, \varphi\right\rangle \\ &=\langle \text{III}, \varphi\rangle \end{aligned}$$

所以

$$\mathcal F\text{III} =\text{III}$$

一般情形

接着考虑一般情形，我们需要使用之前介绍的结论

$$\begin{aligned} \text{III}(p x) &=\frac{1}{p} \text{III}_{1 / p}(x)\\ \text{III}_{p}(x)&=\frac{1}{p}\text{III}\left(\frac{1}{p} x\right) \end{aligned}$$

推导如下

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \text{III}_{p}(s) &=\frac{1}{p} \mathcal{F}\left(\text{III}\left(\frac{x}{p}\right)\right) \\ &=\frac{1}{p} p \mathcal{F} \operatorname{\text{III}}(p s) \\ &=\operatorname{\text{III}}(p s) \\ &=\frac{1}{p} \text{III}_{1 / p}(x) \end{aligned}$$

泊松恒等式的证明

这部分证明泊松恒等式。

将测试函数$\varphi (t)$周期化为周期为$1$的函数$\Phi (t)$：

$$\Phi(t)=(\varphi * \Pi)(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(t-k)$$

作为周期函数，$\Phi $有傅里叶级数

$$\Phi(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{\Phi}(m) e^{2 \pi i m t}$$

其中

$$\begin{aligned} \hat{\Phi}(m) &=\int_{0}^{1} e^{-2 \pi i m t} \Phi(t) d t \\ &=\int_{0}^{1} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i m t} \varphi(t-k) d t\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{-2 \pi i m t} \varphi(t-k) d t \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-k}^{-k+1} e^{-2 \pi i m(t+k)} \varphi(t) d t \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-k}^{-k+1} e^{-2 \pi i m t} \varphi(t) d t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i m t} \varphi(t) d t \\ &=\mathcal{F} \varphi(m) \end{aligned}$$

所以

$$\Phi(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(m) e^{2 \pi i m t}$$

取$t=0$，我们有

$$\begin{array}{l}{\Phi(0)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(-k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k)} \\ {\Phi(0)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(k) e^{2 \pi i k 0}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} \varphi(k)}\end{array}$$

回到X光

回到X光的内容，电子密度为

$$\rho_{p}(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-k p)=\left(\rho * \text{III}_{p}\right)(x)$$

取傅里叶变换得到

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \rho_{p}(s) &=\mathcal{F}\left(\rho * \text{III}_{p}\right)(s) \\ &=\left(\mathcal{F} \rho \cdot \mathcal{F} \text{III}_{p}\right)(s) \\ &=\mathcal{F} \rho(s) \frac{1}{p} \text{III}_{1 / p}(s) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{p} \mathcal{F} \rho\left(\frac{k}{p}\right) \delta\left(s-\frac{k}{p}\right) \end{aligned}$$

这说明间距为晶体间距的倒数$\frac 1 p$。