EE261 Lecture 7 and Lecture 8

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这次回顾第七讲和第八讲，这两讲介绍了傅里叶变换的性质。

对偶性

注意到

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(-s) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i(-s) t} f(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} f(t) d t=\mathcal{F}^{-1} f(s) \\ \mathcal{F}^{-1} f(-t) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s(-t)} f(s) d s=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(s) d s=\mathcal{F} f(t) \end{aligned}$$

所以

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(-s) &=\mathcal{F}^{-1} f(s) \\ \mathcal{F}^{-1} f(-t) &=\mathcal{F} f(t) \end{aligned}$$

来看几个具体应用：

例 1

我们知道

$$\mathcal{F} \Pi=\operatorname{sinc}$$

所以

$$\mathcal{F}^{-1} \sin c=\Pi$$

现在利用对偶性计算$\mathcal{F}\operatorname{sinc} $：

$$\mathcal{F} \operatorname{sinc}(t)=\mathcal{F}^{-1} \operatorname{sinc}(-t)=\Pi(-t)=\Pi(t)$$

即

$$\mathcal{F} \sin c=\Pi$$

例 2

我们知道

$$\mathcal{F} \Lambda=\operatorname{sinc}^{2}$$

所以

$$\mathcal{F}^{-1} \sin c^{2}=\Lambda$$

因此

$$\mathcal{F} \operatorname{sinc}^{2}(t)=\left(\mathcal{F}^{-1} \operatorname{sinc}^{2}\right)(-t)=\Lambda(-t) =\Lambda(t)$$

即

$$\mathcal{F} \operatorname{sinc}^{2} =\Lambda$$

反向符号

记

$$f^{-}(t)=f(-t)$$

在后续讨论中，都使用上述记号。由定义不难看出

$$\left(f^{-}\right)^{-}=f$$

该符号和奇偶性的关系如下：

$$\begin{aligned} &f是偶函数，如果 f^{-}=f \\ &f 是奇函数，如果 f^{-}=-f \end{aligned}$$

在该符号下，对偶性可以记为

$$\begin{aligned} (\mathcal{F} f)^{-}&=\mathcal{F}^{-1} f \\ \left(\mathcal{F}^{-1} f\right)^{-}&=\mathcal{F} f \end{aligned}$$

之前两个例子可以写为

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \operatorname{sinc}&=\left(\mathcal{F}^{-1} \operatorname{sinc}\right)^{-}=\Pi^{-}=\Pi \\ \mathcal{F} \operatorname{sinc}^{2}&=\left(\mathcal{F}^{-1} \operatorname{sinc}^{2}\right)^{-}=\Lambda^{-}=\Lambda \end{aligned}$$

在上述符号下，计算$\mathcal F f^{-}$：

$$\begin{aligned} \mathcal{F} f^{-}(s) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f^{-}(t) d t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(-t) d t\\ &=\int_{\infty}^{-\infty} e^{-2 \pi i s(-u)} f(u)(-d u) &t=-u \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s u} f(u) d u \\ &=\mathcal{F}^{-1} f(s) \end{aligned}$$

即

$$\mathcal{F} f^{-}=\mathcal{F}^{-1} f=(\mathcal{F} f)^{-}$$

其中第二个等号是因为之前的结论。

利用之前的性质计算$\mathcal F^{-1} f^{-}$：

$$\mathcal F^{-1} f^{-}=(\mathcal F f^-)^-=(\mathcal F^{-1} f)^{-} = Ff$$

最后验证如下结论

$$\mathcal{F}(\mathcal{F} f)=f^{-}$$

使用对偶性可得

$$\begin{aligned} \mathcal{F}(\mathcal{F} f) &=\left(\mathcal{F}^{-1} (\mathcal F f)\right)^{-} &利用 \mathcal{F} f=\left(\mathcal{F}^{-1} f\right)^{-}\\ &= f^- \end{aligned}$$

奇偶性和对称性

傅里叶变换的奇偶性和原函数一致，原因如下：

$$(\mathcal{F} f)^{-}=\mathcal{F} f^{-}=\left\{\begin{array}{ll}{\mathcal{F} f,} & {\text { if } f \text { is even }} \\ {\mathcal{F}(-f)=-\mathcal{F} f} & {\text { if } f \text { is odd }}\end{array}\right.$$

如果$f(t)$是实值函数，那么

$$(\mathcal{F} f)^{-} =\mathcal{F}\left(f^{-}\right) =\overline{\mathcal{F} f}$$

原因如下

$$\begin{aligned} (\mathcal{F} f)^{-}(s) &=\mathcal{F}^{-1} f(s) \quad \text { (对偶性) } \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} f(t) d t \\ &=\overline {\left\{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t\right\}} \quad(\overline{f(t)}=f(t) \text { since } f(t) \text { is real }) \\ &= \overline{\mathcal{F} f(s)} \end{aligned}$$

线性性

$$\begin{aligned} \mathcal{F}(f+g)(s) &=\mathcal{F} f(s)+\mathcal{F} g(s) \\ \mathcal{F}(\alpha f)(s) &=\alpha \mathcal{F} f(s) \end{aligned}$$

平移定理

计算$\mathcal F f(t+b)$：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(t+b) e^{-2 \pi i s t} d t &=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i s(u-b)} d u \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i s u} e^{2 \pi i s b} d u \\ &=e^{2 \pi i s b} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i s u} d u\\ &=e^{2 \pi i s b} \hat{f}(s) \end{aligned}$$

所以我们有

$$f(t) \rightleftharpoons F(s) \Rightarrow f(t \pm b) \rightleftharpoons e^{ \pm 2 \pi i s b} F(s)$$

相似定理

计算$\mathcal F f(at)$，如果$a>0$：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(a t) e^{-2 \pi i s t} d t &=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i s(u / a)} \frac{1}{a} d u & u=at\\ &=\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i(s / a) u} d u\\ &=\frac{1}{a} \mathcal{F} f\left(\frac{s}{a}\right) \end{aligned}$$

如果$a<0$：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(a t) e^{-2 \pi i s t} d t &=\int_{\infty}^{-\infty} f(u) e^{-2 \pi i s(u / a)} \frac{1}{a} d u & u=at\\ &=\frac{1}{a} \int_{\infty}^{-\infty} f(u) e^{-2 \pi i(s / a) u} d u\\ &= -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2 \pi i(s / a) u} d u\\ &=-\frac{1}{a} \mathcal{F} f\left(\frac{s}{a}\right) \end{aligned}$$

所以我们有

$$f(t) \rightleftharpoons F(s) \Rightarrow f(at) \rightleftharpoons \frac{1}{|a|} F\left(\frac{s}{a}\right)$$

汇总

$$f(t) \rightleftharpoons F(s) \Rightarrow f(a t \pm b)=f\left(a\left(t \pm \frac{b}{a}\right)\right) \rightleftharpoons \frac{1}{|a|} e^{ \pm 2 \pi i s b / a} F\left(\frac{s}{a}\right)$$