EE261 Lecture 4

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这次回顾第四讲，这一讲讨论傅里叶序列的应用。

热方程

考虑热方程（通过变换将系数变为$\frac{1}{2}$）

$$u_t=\frac{1}{2}{u}_{xx}$$

假设

$$u(x+1,t)=u(x,t)$$

将$u(x,t)$展开为傅里叶序列的形式得到

$$u(x,t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(t)e^{2\pi inx}$$

其中

$$c_n(t)={\int }_0^1{e}^{-2\pi inx}u(x,t)dx$$

注意

$$\begin{array}{rl}{u}_t& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n^{\prime }(t)e^{2\pi inx}\\ u_{xx}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(t)e^{2\pi inx}(-4{\pi }^2{n}^2)\end{array}$$

代入热方程得到

$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n^{\prime }(t)e^{2\pi inx}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(t)e^{2\pi inx}(-2{\pi }^2{n}^2)$$

对比系数得到

$$c_n^{\prime }(t)=-2{\pi }^2{n}^2{c}_n(t)$$

该常微分方程的解为

$$c_n(t)=c_n(0)e^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}$$

假设

$$u(x,0)=f(x)$$

其中

$$f(x+1)=f(x)$$

那么

$$\begin{array}{rl}{c}_n(0)& ={\int }_0^{1}u(x,0)e^{-2\pi inx}dx\\ & ={\int }_0^{1}f(x)e^{-2\pi inx}dx\\ & =\hat{f}(n)\end{array}$$

所以

$$c_n(t)=\hat{f}(n)e^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}$$

因此热方程的通解为

$$u(x,t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)e^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}{e}^{2\pi inx}$$

接下来对上式进行变形，将

$$\hat{f}(n)={\int }_0^{1}f(y)e^{-2\pi iny}dy$$

代入上式可得

$$\begin{array}{rl}u(x,t)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}{e}^{2\pi inx}{\int }_0^{1}f(y)e^{-2\pi iny}dy\\ & ={\int }_0^1\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}{e}^{2\pi in(x-y)}f(y)dy\end{array}$$

如果记

$$g(x-y,t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}{e}^{2\pi in(x-y)}$$

我们有

$$u(x,t)={\int }_0^{1}g(x-y,t)f(y)dy$$

函数

$$g(x,t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2{\pi }^2{n}^{2}t}{e}^{2\pi inx}$$

被称为格林函数。更一般的，积分

$${\int }_0^{1}g(x-y)f(y)dy$$

被称为$f$和$g$的卷积。