EE263 Lecture 10 Autonomous linear dynamical systems

距离上次更新已经 2126 天了，文章内容可能已经过时。

课程主页：https://see.stanford.edu/Course/EE263

这次回顾第十讲，这一讲结束了线性自治动力系统部分的内容。

化学反应

• 化学反应涉及$n$种化学物质；$x_i$是化学物质$i$的浓度

• 反应动力学的线性模型为

  $$\frac{d{x}_i}{dt}=a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n$$

• 上述模型是一些反应的良好模型； $A$通常很稀疏

来看一个具体例子，考虑$A\stackrel{k_1}{⟶}B\stackrel{k_2}{⟶}C$的反应，对应线性系统为

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}-k_1& 0& 0\\ k_1& -k_2& 0\\ 0& k_2& 0\end{array}\right]x$$

对于$k_1=k_2=1$，初值$x(0)=(1,0,0)$，作图得到

注意到动力矩阵的每一列和为$0$，我们计算如下量：

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(1^{T}x(t))& =1^T\dot{x}(t)\\ & =1^{T}Ax(t)\\ & =0\end{array}$$

所以

$$1^{T}x(t)=1^{T}x(0)$$

即化学物质的质量守恒。

有限状态离散时间的马尔可夫链

$z(t)\in \{1,\dots ,n\}$是随机序列，并且

$$\mathrm{Prob}(z(t+1)=i|z(t)=j)=P_{ij}$$

其中$P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是状态转移矩阵。

将概率分布$z(t)$表达为$n$维向量：

$$p(t)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Prob}(z(t)=1)\\ ⋮\\ \mathrm{Prob}(z(t)=n)\end{array}\right]$$

所以

$$\mathrm{Prob}(z(t)=1,2,\text{ or }3)=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right]p(t)$$

在上述定义下，可以得到如下递推式

$$p(t+1)=Pp(t)$$

$P$通常为稀疏矩阵。

马尔可夫链可以用图像表示，其中

• 节点表示状态
• 边展示转移概率

例如

上图对应的递推式为

$$p(t+1)=\left[\begin{array}{ccc}0.9& 0.7& 1.0\\ 0.1& 0.1& 0\\ 0& 0.2& 0\end{array}\right]p(t)$$

连续系统的数值积分

计算$\dot{x}=Ax,x(0)=x_0$的近似解。

假设$h$是很小的时间间隔，简单的近似（前向欧拉）为

$$x(t+h)\approx x(t)+h\dot{x}(t)=(I+hA)x(t)$$

将上述系统离散化，递推可得

$$x(kh)\approx (I+hA{)}^{k}x(0)$$

高阶线性动力系统

$$x^{(k)}=A_{k-1}{x}^{(k-1)}+\cdots +A_1{x}^{(1)}+A_{0}x,x(t)\in {\mathbb{R}}^n$$

其中$x^{(m)}$表示$m$阶导数。定义新变量

$$z=\left[\begin{array}{c}x\\ x^{(1)}\\ ⋮\\ x^{(k-1)}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{nk}$$

那么

$$\dot{z}=\left[\begin{array}{c}{x}^{(1)}\\ ⋮\\ x^{(k)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& I& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& I& \cdots & 0\\ ⋮& & & & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & I\\ A_0& A_1& A_2& \cdots & A_{k-1}\end{array}\right]z$$

上述系统的框图为

在平衡点附线性化

考虑非线性，和时间无关的微分方程：

$$\dot{x}=f(x)$$

其中$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$

假设$x_e$是平衡点，即

$$f(x_e)=0$$

（所以$x(t)=x_e$满足微分方程）

假设$x(t)$在$x_e$附近，那么

$$\dot{x}(t)=f(x(t))\approx f\left(x_e\right)+Df\left(x_e\right)(x(t)-x_e)$$

令$\delta x(t)=x(t)-x_e$，上述系统可以重写为

$$\dot{\delta x}(t)\approx Df\left(x_e\right)\delta x(t)$$

例子：单摆

二阶非线性微分方程为

$$m{l}^2\ddot{\theta }=-lmg\sin \theta$$

取$x=\left[\begin{array}{l}\theta \\ \dot{\theta }\end{array}\right]$，将上述系统重写为$1$阶微分方程

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ -(g/l)\sin x_1\end{array}\right]$$

平稳点为$x_e=0$，在$x_e=0$处线性化上述系统得到

$$\dot{\delta x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -g/l& 0\end{array}\right]\delta x$$

线性化是否有效？

线性化系统通常有效，但是有时候效果也不太好，考虑如下两个例子。

例1：

$$\dot{x}=-x^3,x_e=0$$

对于$x(0)>0$，解为$x(t)={(x(0{)}^{-2}+2t)}^{-1/2}$。

线性化系统为$\dot{\delta x}=0$，解为常数。

例2：

$$\dot{z}=z^3,z_e=0$$

对于$z(0)>0$，解为$z(t)={(z(0{)}^{-2}-2t)}^{-1/2}$。

线性化系统为$\dot{\delta z}=0$，解为常数。

对应图像为

可以看出线性化的系统效果明显不好。