EE263 Lecture 10 Autonomous linear dynamical systems

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这次回顾第十讲，这一讲结束了线性自治动力系统部分的内容。

化学反应

• 化学反应涉及$n$种化学物质；$x_i$是化学物质$i$的浓度

• 反应动力学的线性模型为

  $$\frac{d x_{i}}{d t}=a_{i 1} x_{1}+\cdots+a_{i n} x_{n}$$

• 上述模型是一些反应的良好模型； $A$通常很稀疏

来看一个具体例子，考虑$A \stackrel{k_{1}}{\longrightarrow} B \stackrel{k_{2}}{\longrightarrow} C$的反应，对应线性系统为

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}{-k_{1}} & {0} & {0} \\ {k_{1}} & {-k_{2}} & {0} \\ {0} & {k_{2}} & {0}\end{array}\right] x$$

对于$k_{1}=k_{2}=1$，初值$x(0)=(1,0,0)$，作图得到

注意到动力矩阵的每一列和为$0$，我们计算如下量：

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left(1^Tx(t) \right) &=1^T \dot x(t)\\ &=1^TAx(t)\\ &=0 \end{aligned}$$

所以

$$1^Tx(t)=1^Tx(0)$$

即化学物质的质量守恒。

有限状态离散时间的马尔可夫链

$z(t) \in\{1, \ldots, n\}$是随机序列，并且

$$\operatorname{Prob}(z(t+1)=i | z(t)=j)=P_{i j}$$

其中$P\in \mathbb R^{n\times n}$是状态转移矩阵。

将概率分布$z(t)$表达为$n$维向量：

$$p(t)=\left[\begin{array}{c} {\operatorname{Prob}(z(t)=1)} \\ \vdots \\ {\operatorname{Prob}(z(t)=n)}\end{array}\right]$$

所以

$$\operatorname{Prob}(z(t)=1,2, \text { or } 3)= \left[ \begin{matrix}{1} & {1} & 1& {0} & {\cdots} & {0} \end{matrix}\right] p(t)$$

在上述定义下，可以得到如下递推式

$$p(t+1)=Pp(t)$$

$P$通常为稀疏矩阵。

马尔可夫链可以用图像表示，其中

• 节点表示状态
• 边展示转移概率

例如

上图对应的递推式为

$$p(t+1)=\left[\begin{array}{ccc}{0.9} & {0.7} & {1.0} \\ {0.1} & {0.1} & {0} \\ {0} & {0.2} & {0}\end{array}\right] p(t)$$

连续系统的数值积分

计算$\dot{x}=A x, x(0)=x_{0}$的近似解。

假设$h$是很小的时间间隔，简单的近似（前向欧拉）为

$$x(t+h) \approx x(t)+h \dot{x}(t)=(I+h A) x(t)$$

将上述系统离散化，递推可得

$$x(k h) \approx(I+h A)^{k} x(0)$$

高阶线性动力系统

$$x^{(k)}=A_{k-1} x^{(k-1)}+\cdots+A_{1} x^{(1)}+A_{0} x, \quad x(t) \in \mathbb{R}^{n}$$

其中$x^{(m)}$表示$m$阶导数。定义新变量

$$z=\left[\begin{array}{c}{x} \\ {x^{(1)}} \\ {\vdots} \\ {x^{(k-1)}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{n k}$$

那么

$$\dot{z} =\left[\begin{array}{c}{x^{(1)}} \\ {\vdots} \\ {x^{(k)}}\end{array}\right] =\left[\begin{matrix} 0 & {I} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {0} & {I} & {\cdots} & {0} \\ {\vdots} & { } & { } & { } & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & {I} \\ {A_{0}} & {A_{1}} & {A_{2}} & {\cdots} & {A_{k-1}} \end{matrix}\right] z$$

上述系统的框图为

在平衡点附线性化

考虑非线性，和时间无关的微分方程：

$$\dot{x}=f(x)$$

其中$f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$

假设$x_e$是平衡点，即

$$f(x_e)=0$$

（所以$x(t)=x_e$满足微分方程）

假设$x(t)$在$x_e$附近，那么

$$\dot{x}(t)=f(x(t)) \approx f\left(x_{e}\right)+D f\left(x_{e}\right)\left(x(t)-x_{e}\right)$$

令$\delta x(t)=x(t)-x_{e}$，上述系统可以重写为

$$\dot{\delta x}(t) \approx D f\left(x_{e}\right) \delta x(t)$$

例子：单摆

二阶非线性微分方程为

$$m l^{2} \ddot{\theta}=-{lm} g \sin \theta$$

取$x=\left[\begin{array}{l}{\theta} \\ {\dot{\theta}}\end{array}\right]$，将上述系统重写为$1$阶微分方程

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{2}} \\ {-(g / l) \sin x_{1}}\end{array}\right]$$

平稳点为$x_e=0$，在$x_e=0$处线性化上述系统得到

$$\dot{\delta x}=\left[\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-g / l} & {0}\end{array}\right] \delta x$$

线性化是否有效？

线性化系统通常有效，但是有时候效果也不太好，考虑如下两个例子。

例1：

$$\dot{x}=-x^{3}, x_e=0$$

对于$x(0)>0$，解为$x(t)=\left(x(0)^{-2}+2 t\right)^{-1 / 2}$。

线性化系统为$\dot{\delta x}=0$，解为常数。

例2：

$$\dot{z}=z^{3}, z_e=0$$

对于$z(0)>0$，解为$z(t)=\left(z(0)^{-2}-2 t\right)^{-1 / 2}$。

线性化系统为$\dot{\delta z}=0$，解为常数。

对应图像为

可以看出线性化的系统效果明显不好。