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这次回顾第二,第三讲,主要内容为条件概率,贝叶斯公式和独立性。

课程主页:https://ocw.mit.edu/resources/res-6-012-introduction-to-probability-spring-2018/index.htm

edx版本:https://www.edx.org/course/probability-the-science-of-uncertainty-and-data-0

Part 1:课程回顾

条件概率

设事件B满足P(B)>0,给定B之下,事件A的条件概率为

P(A|B)=P(AB)P(B)

条件概率满足普通概率的性质:

  1. P(A|B)0
  2. P(Ω|B)=P(ΩB)P(B)=P(B)P(B)=1
  3. P(B|B)=P(BB)P(B)=1
  4. 如果AC=,那么P(AC|B)=P(A|B)+P(C|B)

利用条件概率,还可以得到如下公式(假设所涉及的概率都是正的):

P(i=1nAi)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|i=1n1Ai)

全概率公式

假设A1,A2,,An是一组互不相容的事件,它形成样本空间的一个分割,假定对于任意i,P(Ai)>0,那么

P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai)

在上述条件下,利用条件概率的定义可得到贝叶斯公式:

贝叶斯公式

P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)j=1nP(Aj)P(B|Aj)

独立性

我们称事件A,B独立,如果其满足

P(AB)=P(A)P(B)

我们称事件A1,A2,,An独立,如果对于任意下标i,j,,m

P(AiAjAm)=P(Ai)P(Aj)P(Am)

条件独立性

设事件C满足P(C)>0,两个事件A,B称为在给定C的条件下条件独立,如果满足

P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)

Part 2:理论习题

1

记因为累计n元停止压注的事件为A,因为累计0元停止压注的事件为B,记起始为k元,事件A发生的概率为wk,显然

w0=0,wn=1

并且那么对于0<k<n,我们有

wk=P(A|F)P(F)+P(A|Fc)P(Fc)=pP(A|F)+qP(A|Fc)=pwk+1+(1p)wk1

所以

p(wk+1wk)=(1p)(wkwk1)wk+1wk=1pp(wkwk1)r(wkwk1)

递推得到

wk+1wk=rk(w1w0)=rkw1,0<k<n

累加可得

wk=w0+i=1k(wiwi1)=i=1kri1w1={1rk1rw1r1kw1r=1

k=n,得到

1=wn={1rn1rw1r1nw1r=1

所以

w1={1r1rnr11nr=1

注意

r=1p=q

因此

wk={1rk1rw1=1rk1r1r1rn=1rk1rnpqkw1=knp=q

2

后面要重复使用如下不等式:

1xex,0x1

(a)记第i次试验成功的事件为Ai,那么

N=i=1AiP(N)=P(i=1Ai)=i=1P(Ai)=i=1(1pi)ei=1pi=0

所以

P(N)=0

为证明另一个结论,考虑I的补集,记Bi为第i次试验成功,后续全失败的事件,那么不难看出我们有

IC=N(i=1Si)

注意到

Si=Aij=i+1Aj

所以

P(Si)=P(Aij=i+1Aj)=P(Ai)j=1+1P(Aj)=pij=i+1(1pj)piej=i+1pi=0

因此

P(IC)=P(N(i=1Si))P(N)+i=1P(Si)=0P(I)=1P(IC)=1

(b)如果事件I发生,那么j,第j次试验之后至少有一次成功,即

j,Ii=jAi

所以j,我们有

P(I)P(i=jAi)i=jP(Ai)=i=jpi

因此

P(I)limji=jpi

因为

i=1pi<

所以

limji=jpi=0

从而

P(I)limji=jpi=0P(I)=0