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这次回顾第二讲，这一讲主要复现线性代数的基本内容以及其含义。

Lecture 2 线性函数和例子

线性方程

首先回顾线性方程组：

写成矩阵形式为$y=Ax$，其中

线性函数

函数$f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m​$是线性的，如果满足

  • $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^{n}$
  • $f(\alpha x)=\alpha f(x), \forall x \in \mathbb{R}^{n}, \forall \alpha \in \mathbb{R}$

矩阵乘法函数

考虑$f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$的函数$f(x)= Ax, A\in \mathbb R^{m\times n}$，该函数被称为矩阵乘法函数。显然该函数是线性的，其实逆命题也成立，即每个$f:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$的线性函数也能写成$f(x)=Ax$的形式，并且$A$是唯一的。

解读$y=Ax$

$x$为输入，$y$为输出，$y= Ax$定义了将$x\in \mathbb R^n$映射到$\mathbb R^m$的函数。

解读$a_{ij}$

考虑

所以$a_{ij}$为第$j$个输入$x_j$对第$i$个输出的增益因子，因此

  • $A$的第$i$行和第$i$个输出有关。
  • $A$的第$j$列和第$j$个输入有关。
  • $a_{27}=0$表示第$2$的输出和第$7$个输入独立。
  • $\left|a_{31}\right| \gg\left|a_{3 j}\right|, j\neq 1$表示$y_3$主要依赖于$x_1$。
  • $\left|a_{52}\right| \gg\left|a_{i 2}\right|,i\neq 5$表示$x_2$主要影响$y_5$。
  • $A$是下三角矩阵，即$a_{ij}=0, i<j$，意味着$y_i$主要依赖于$x_1,\ldots, x_i$。
  • $A$是对角矩阵，即$a_{ij}=0, i\neq j$，意味着第$i$个输出只依赖于第$i$个输入。

后续部分介绍了不少例子，这里回顾其中的两个：

生产的开销

考虑生产投入（材料，零件，劳动力，……）结合起来制造出许多产品的例子：

  • $x_j$是第$j$个生产投入一个单元的价格。
  • $a_{ij}$是第$j$个生产投入用于生成一个单元的产品$i$需要的单元数。
  • $y_i$是第$i$个产品一个单元的生成开销。
  • 所以$y=Ax$。
  • $A$的第$i$行是生产第$i$个产品一个单元的生产投入数量总和。

接着考虑产品需要的数量：

  • $q_i$是第$i$个产品将生产的单元数量。
  • $r_j$是第$j$个生产投入需要的单元数量。
  • 那么$r=A^Tq $

总共开销为

网络运输和流

  • $n$个流以$f_1，…,f_n$的恒定速率从源节点向目标节点移动。

  • $t_i$为第$i$个link上的运输，是通过它的流的总和。

  • 流路线由flow-link示性矩阵表示

  • 运输和流速率的关系为$t=Af$。

link延迟和流延迟

  • 令$d_1,\ldots, d_m​$是link延迟，以及$l_1,\ldots, l_n​$是全部流的延迟总和。
  • 那么$l=A^Td$。
  • 所以网络中的数据包为$f^{T} l=f^{T} A^{T} d=(A f)^{T} d=t^{T} d$。