高等概率论第十二讲
记录本校的高等概率论课程笔记,参考教材《测度与概率》。
本讲介绍了几乎处处收敛以及依概率收敛。
1.几乎处处收敛
1.定义与基本性质
定义
基本性质
2.一个有用的刻划
倒数第三行和倒数第二行等价是因为
最后一行可以推出第二行是因为
因为
所以余项$\to 0$,从而
把上面一段讨论总结为如下定理及推论:
定理6.1.1
推论
证明:(1)已证明
(2)证明:由有条件可知,
所以$n\ge n_0$时
因此
从而
B-C引理
证明:
Borel 0-1律
证明:
如果$\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb P(A_n) < \infty$,那么余项$\to 0$,从而
否则对任意$N$,
从而
2.依概率收敛
定义
基本性质
(1)证明:
下述命题给出了几乎处处收敛和依概率收敛的关系:
命题
证明:$\forall \epsilon >0$
该命题的逆命题不成立,但是有如下定理
定理6.2.1
证明:$\Rightarrow$:只需证
取$n_k \uparrow +\infty$,使得
那么
$\Leftarrow$:反证法,如果$X_n \overset{P} \nrightarrow X$,那么$\exists \epsilon_0 >0$,使得
所以存在子列$a_{n_k}$,使得
但是由条件可知,$\{X_{n_k}\}$存在子列$\{X_{n_k’}\}$使得
从而
与
矛盾。
接下来利用该定理证明基本性质(3)
证明:因为$X_n \overset {P} \to X$,所以${X_{n_k}}$有子列${X_{n_k}’}$满足$X_{n_k’} \overset {a.s} \to X$,又因为$f$连续,所以
由定理定理6.2.1可得
利用性质(3)可以推出性质(2)的全部结论。
习题
习题1
(课本P210/8.1/3)
证明:因为$X$有限,所以
所以$\forall \epsilon >0$,存在$N_1$,使得
因为$X_n \overset{a.s} \to X$,所以
所以存在$N_2 >0$,使得
从而可得
因为$X_n$有限,所以$\forall k\le N_2$,存在$M_k$,使得
现在取
那么
习题2
(课本P215/8.2/2)
证明:因为$X_n \overset{P} \to X$,$f$为有界一致连续函数,所以
找$\{f(X_n)\}$的子列$\{f(X_{n_k})\}$,使得
因为
所以
从而存在$\{X_{n_k}\}$的子列$\{X_{n_k’}\}$,使得
注意到
所以由控制收敛定理可得
所以
注意到
因此
习题3
证明:因为
所以
习题4
证明:因为$f$一致连续,所以$\forall \epsilon>0, \exists \delta >0$,使得$|X_n- X|< \delta$时,
因此
令$n\to \infty$可得