这一部分介绍了Lebesgue-Stieltjes测度以及Borel正则和Radom测度。

Unit 5 Caratheodory Measure

回顾Lebesgue-Stieltjes测度的定义：

我们有如下定理

Theorem 3

证明：前一半即为Theorem 2，只需证明后一半。令$A\subset \mathbb R$，那么由$\mu_g$的构造方式可知，存在$A$的有限开区间可数覆盖序列$\{I_n^{(1)}\},\{I_n^{(2)}\}…$，使得

对每个$k$，令$G_k =\bigcup_{n} I_n^{(k)}$，那么$G_k$是开集，$A\subset G_k$，并且

由前一个不等号可知

对第二个不等号两边关于$k$取极限可得

因此

令$B= \bigcap _k G_k$，那么$A\subset B$，所以

从而

结论得证。

下面的引理给出Lebesgue-Stieltjes测度在闭区间上的值

Lemma 3

证明：取$c<a<b < d$，那么

接下来证明另一个方向，令$\{I_n\}$为有限开区间列使得$[a,b]\subset \bigcup_n I_n$，那么存在$J=[a’,b’],a’<a,b’>b$使得$\{I_n\}$是$J$的开覆盖，令$\delta>0$为$J$关于$\{I_n\}$的开覆盖的勒贝格数，考虑分割$a’=x_0 < x_1<…<x_k =b’$，其中$x_j -{x_{j-1}}<\delta$，$j=1,…,k$。现在按如下方式操作：令$j_0=0$，选择$n_1 \in \mathbb N$，使得$[x_0,x_1] \in I_{n_1}$，令$j_1$为满足$[x_0, x_{j_1}]\subset I_{n_1}$的最大下标，如果$j_1 =k$，那么停止操作；否则令$I_{n_2}\supset [x_{j_1},x_{j_1+1}] $，$j_2$为满足$[x_{j_1},x_{j_2}]\subset I_{n_2}$的最大下标。按这个方式持续下去，我们可以得到$j_1 < j_2 < …< j_l$以及$n_1,…,n_l$，使得

所以

那么由定义可知

从而

Remark

我们有如下Remark：因为Borel集合都是$\mu_g$可测，所以

类似可得

Theorem 4

证明：显然$\hat g$为右连续，为了证明$\mu_{\hat g} = \mu_g$，令$(a,b)$为一开区间，存在$a_n \downarrow a,b_n \uparrow b$，$a_n,b_n$有限且$(a_n,b_n]\uparrow (a,b)$，那么

从而对$\mathbb R$中任意开集$G$，

现在对任意$A \subset \mathbb R$，由Theorem 3可知，存在序列$\{G_k\}$以及$\{\hat G_k\}$，使得对每个$k$，$A\subset G_k, \hat G_k$，并且

现在考虑交集$G_k\bigcap \hat G_k $，显然有$A\subset G_k\bigcap \hat G_k $，所以

另一方面$G_k\bigcap \hat G_k \subset G_k$，所以

因此

同理可得

因为$G_k\bigcap \hat G_k$为开集，由之前论述可知

从而

Borel regularity and Radom measures

首先给如Borel测度的定义：

所以Caratheodory测度为Borel测度。

接着给出Borel正则的定义：

不难看出$\lambda^n, \mu_g$为Borel正则。

最后给出Radom测度的定义：

不难看出$\lambda^n, \mu_g$为Random测度。

例1

令$\mu$为度量空间$X$上的测度，$f$为$X$为非负$\sum^{\mu}$-可测函数，令$\nu$按如下方式定义在$\mathcal B(X)$上的测度：

称其为关于$\mu$的不定积分。用$\{f_\mu\}$表示$\nu$，$\{f_\mu\}^$为利用method 1从$\{f_\mu\}$构造出来的测度，$\{f_\mu\}^$为$X$上唯一的$\mathcal B(X)$-正则测度使得对任意的$B\in \mathcal B(X)$