台大实分析单元 15 Caratheodory Measure 1

这一部分介绍了Caratheodory Measure。

Unit 5 Caratheodory Measure

这一讲开始将介绍Caratheodory Measure，下面给出Caratheodory Measure的定义：

$$X是一个度量空间，度量为\rho，X上的测度为\mu被称为\text{Caratheodory}测度，\\ 如果\mu(A\bigcup B) = \mu(A) +\mu(B)只要\rho(A,B) = \inf_{x\in A,y\in B} \rho(x,y)>0$$

Theorem 1

$$如果\mu是度量空间X上一个\text{Caratheodory}测度，那么X的每个闭集都\mu可测$$

在证明之前，首先给出一个引理

Lemma 1

$$\mu是度量空间X上一个\text{Caratheodory}测度，\\ 令A_1\subset A_2 \subset ...\subset A_n \subset A_{n+1}\subset ...为X中递增子集，使得对每个n,\rho(A_n ,A_{n+1}^C)>0，\\ 那么\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)=\sup_n{\mu}(A_n) =\lim_{n\to \infty} \mu(A_n)\\$$

证明：

显然有

$$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)\ge \sup_n{\mu}(A_n)$$

为了证明$\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n)\le \sup_n{\mu}(A_n)$，我们不妨假设$\sup_n{\mu}(A_n)<\infty$（否则不等号显然成立），令

$$D_1=A_1, D_2 = A_2\setminus A_1,...,D_n=A_n\setminus A_{n-1}$$

那么当$m\ge n+2$时，$D_n \subset A_n,D_{m+2} \subset A_{n+2}^C\subset A_{n+1}^C$，从而

$$\rho(D_n,D_m)>0 \\ \mu(D_n\bigcup D_m) = \mu(D_n)+\mu(D_m)(\text{Caratheodory}测度的性质)$$

所以考虑间隔为$2​$的奇数以及偶数项，由数学归纳法可得

$$\mu(D_1 \bigcup D_3\bigcup ...\bigcup D_{2k-1})= \mu(D_1)+...+ \mu(D_{2k-1})\\ \mu(D_2 \bigcup D_4\bigcup ...\bigcup D_{2k})= \mu(D_2)+...+ \mu(D_{2k})$$

注意到

$$D_1 \bigcup D_3\bigcup ...\bigcup D_{2k-1} \subset A_{2k-1}$$

因此

$$\sum_{j=1} ^k \mu(D_{2j-1})=\mu(D_1 \bigcup D_3\bigcup ...\bigcup D_{2k-1}) \le \mu(A_{2k-1})\le \sup_{n}\mu(A_n) <\infty\\$$

从而

$$\lim_{k\to \infty} \sum_{j=k} ^\infty \mu(D_{2j-1}) = 0$$

同理可得

$$\sum_{j=1} ^k \mu(D_{2j}) < \infty \\ \lim_{k\to \infty} \sum_{j=k} ^\infty \mu(D_{2j}) = 0$$

注意$A_n \uparrow$，我们可得

$$\begin{aligned} \mu(\bigcup _{j=1}^ \infty A_j ) &= \mu(\bigcup _{j=n}^ \infty A_j) \\ &=\mu(A_n \bigcup \bigcup _{j=n+1}^ \infty A_j) \\ &=\mu(A_n \bigcup \bigcup _{j=n+1}^ \infty D_j) \\ &\le \mu(A_n) + \sum_{j=n+1}^\infty \mu(D_j) \\ &\le \sup_n \mu(A_n) +\sum_{j=n+1}^\infty \mu(D_j) \end{aligned}$$

令$n\to \infty$可得

$$\mu(\bigcup _{j=1}^ \infty A_j ) \le \sup_n \mu(A_n)$$

结合两个方向的不等式可得

$$\mu(\bigcup _{j=1}^ \infty A_j ) = \sup_n \mu(A_n)$$

接下来证明定理1：

令$F$为$X$中闭集，任取$A\subseteq F,B\subseteq F^C$，由闭集的补为开集可知，当$x\in B$时，$\rho(x, F) >0$。对每个$n\in \mathbb N$，令$B_n =\{x\in B | \rho(x, F) > \frac 1 n \}$，不难看出$B_n \uparrow$，所以

$$B_1\subset B_2 \subset ...\subset B_n \subset B_{n+1}\subset ...$$

令

$$B= \bigcup _n B_n$$

我们给出如下Claim

[Claim]

$$\rho(B_n ,B\setminus B_{n+1}) \ge \frac{1}{n(n+1)} >0$$

证明：

任取$x\in B_n ,y \in B\setminus B_{n+1}$，由三角不等式可知，对于任意$ z\in F$

$$\rho(x,y)\ge \rho(x,z)- \rho(y,z)$$

由$B_n$的定义可知

$$\rho(x,z) \ge \frac 1 n$$

从而

$$\rho(x,y) \ge \frac 1 n - \rho(y,z)$$

选择序列$\{z_n\}\subset F$，使得

$$\lim_{n\to\infty} \rho(y,z_n)= \inf_{z\in F} \rho(y,z) = \rho(y,F)$$

带入之前的不等式可得

$$\rho(x,y) \ge \frac 1 n - \rho(y,z_n)$$

令$n\to \infty$可得

$$\rho(x,y) \ge \frac 1 n - \rho(y,F) \ge \frac 1 n - \frac 1 {n+1} = \frac 1 {n(n+1)}$$

最后一个不等式是因为由$B_{n+1}$的定义可知，$\rho(y,F) \le \frac 1 {n+1}$

现在对$\{B_n \}$应用引理1可得

$$\sup_{n} \mu(B_n) =\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n) =\mu(B)$$

注意$A\subset F$，所以我们有

$$\rho(A,B_n )\ge \rho(F,B_n) \ge \frac 1 n >0$$

从而对任意$n$

$$\mu(A\bigcup B)\ge \mu(A \bigcup B_n ) = \mu(A) + \mu(B_n)$$

因此

$$\mu(A\bigcup B) \ge \mu(A) + \sup_{n} \mu(B_n) =\mu(A) + \mu(B)$$

这就证明了定理