台大实分析单元 14 外测度 5

这一部分继续介绍了正则外测度的概念。

继续上次的内容，给出如下推论：

Collary 1

$$给定一个测度空间(\Omega,\sum,\mu)，\\利用\text{method 1}从准测度\tau构建的外测度\mu^* 是在\Omega上满足\mu^*(A)=\mu(A)的唯一的\sum-正则测度,A\in \sum\\ 注意\sum\subset {\sum}^{\mu^*}$$

证明：

因为$\sum$是$\sigma$代数($\sum_{\sigma\delta}= \sum$)，所以由Proposition 2，$\mu^*$是$\sum-正则$，结论第一部分证毕。

接下来证明唯一性：

令$\nu$是$\Omega$上一个$\sum-正则$测度，使得$\nu(A)=\mu(A)$对于$A\in\sum$。

现在任取$B\subset \Omega$，存在$\sum$中$A_1$和$A_2$，使得$B\subset A_1,B\subset A_2$，并且

$$\mu^*(A_1)= \mu^*(B),\nu(A_2)= \nu(B)$$

取$A= A_1\bigcap A_2\in \sum$，那么$B\subset A$，并且

$$\mu^*(A_1) \ge \mu^*(A) \ge \mu^*(B)= \mu^*(A_1)\\ \nu(A_2) \ge \nu(A) \ge \nu(B)= \nu(A_2)$$

因此

$$\mu^*(B) = \mu^*(A)=\mu(A) \\ \nu(B) = \nu(A)=\mu(A)$$

从而

$$\mu^*(B) = \nu(B)$$

下面给出一些之前定理的应用：

例 1

$$假设f是\mathbb R^2上函数，满足如下条件：\\ (i) 对每个y，x\to f(x,y)是勒贝格可测的\\ (ii)对\mathbb R 中\lambda-a.e \ x,f(x,y)关于y是一个连续函数\\ (iii)存在\mathbb R上勒贝格可积函数g，使得|f(x,y)| \le g(x)对于\mathbb R中几乎每个x\\ 在\mathbb R上定义一个函数F= \int_{\mathbb R}f(x,y) dx ,y\in \mathbb R，那么F是\mathbb R上连续函数$$

证明：

取$\mathbb R$中序列$\{y_n\}$，$y_n \to y$，我们来证明$F(y_n )\to F(y)$，注意$F(y_n)= \int_{\mathbb R}f(x,y_n) dx$，那么

$$\lim_{n\to\infty }F(y_n) =\lim_{n\to\infty } \int_{\mathbb R}f(x,y_n) dx$$

注意到$|f(x,y)| \le g(x)\ a.e$并且$g$勒贝格可积，那么由勒贝格控制收敛定理以及$f(x,y)$关于$y$连续可得

$$\lim_{n\to\infty }F(y_n)=\lim_{n\to\infty } \int_{\mathbb R}f(x,y_n) dx = \int_{\mathbb R}\lim_{n\to\infty }f(x,y_n) dx =\int_{\mathbb R}f(x,y) dx = F(y)$$

例 2

$$令f和g满足上例的条件，假设y\to f(x,y)关于x几乎处处可微，\\ 并且在\mathbb R上存在可积函数h，使得 |\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)| \le h(x)对于x (a.e)\\ 同上例中定义F，证明F是\mathbb R上连续可微函数，并且\\ F'(y) = \int_{\mathbb R} \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) dx,y\in\mathbb R$$

证明：

连续性即上例，这里证明可微性，取$\{\delta_n\}$，$\delta_n \to 0$，那么由定义可知：

$$\begin{aligned} F'(y)& =\lim_{n\to \infty} \frac{\int_{\mathbb R}f(x,y+\delta_n) dx-\int_{\mathbb R}f(x,y) dx}{\delta_n} \\ &=\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R}\frac{f(x,y+\delta_n)-f(x,y) }{\delta_n}dx \\ &=\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R}\frac{\partial}{\partial y} f(x,y+\sigma_n)dx \end{aligned}$$

其中$|\sigma_n| \le |\delta_n|$，并且当$\delta_n\to 0$时，$\sigma_n \to 0$，因为

$$|\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)| \le h(x) \ a.e$$

所以由勒贝格控制收敛定理可得

$$F'(y) =\lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R}\frac{\partial}{\partial y} f(x,y+\sigma_n)dx = \int_{\mathbb R}\lim_{n\to \infty}\frac{\partial}{\partial y} f(x,y+\sigma_n)dx =\int_{\mathbb R}\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)dx$$

这也说明$F(y)$可微