台大实分析单元 6 测度与积分 2

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这一讲开始介绍了单调收敛定理以及几乎处处的概念。

Therorem 2 单调收敛定理

{f_{n}} 是 一 个 单 调 非 递 减 非 负 可 测 函 数 序 列 ， 那 么 \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ = lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ

证明：

由于 $f_{n} ↑$ ，所以

f_{1} \leq . . . \leq f_{n} \leq . . . \leq lim_{n \to \infty} f_{n}

又由于 $f_{n}$ 非负，因此

\int_{Ω} f_{1} d μ \leq . . . \leq \int_{Ω} f_{n} d μ \leq . . . \leq \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ \leq \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ

所以我们只要证明另一个方向的不等式即可。

为了证明

lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ \geq \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ

我们只要证明如下事实：

对 于 任 意 0 \leq λ < \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ, lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} \geq λ

对于 $0 \leq λ < \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ$ ，由积分的定义可知，存在一个简单函数 $g = \sum_{j = 1}^{l} α_{j} I_{A_{j}}, A_{j} \in Σ$ ，使得 $λ < \int_{Ω} g d μ$ 。

由定义可得：

\int_{Ω} g d μ = \sum_{j = 1}^{l} α_{j} μ (A_{j})

对于 $n \in N $ 以及 $1 \leq j \leq l $ ，令

A_{j}^{(n)} = {x \in A_{j}, f_{n} (x) > α_{j} - ϵ} 其 中 ϵ > 0 且 充 分 小 ， 使 得 α_{j} - ϵ > 0 (\forall j = 1, . . ., l)

由 $f_{n} ↑$ 可知 $A_{j}^{(n)} ↑$ ，并且 $lim_{n \to \infty} A_{j}^{(n)} = A_{j}$

接着令 $g_{n} = \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) I_{A_{j}^{(n)}}$ ，如果 $x \in A_{j}^{(n)}$ ， $g_{n} (x) = α_{j} - ϵ < f_{n} (x)$ ，如果 $x \notin A_{j}^{(n)}$ ， $g_{n} (x) = 0 \leq f_{n} (x)$ ，所以

0 \leq g_{n} \leq f_{n} \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}^{(n)}) = \int_{Ω} g_{n} d μ \leq \int_{Ω} f_{n} d μ lim_{n \to \infty} \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}^{(n)}) = lim_{n \to \infty} \int_{Ω} g_{n} d μ \leq lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ

注意 $A_{j}^{(n)} ↑ A_{j}$ ，那么由引理1(单调极限引理)可得

lim_{n \to \infty} \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}^{(n)}) = \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j})

如果对每个 $j$ ， $μ (A_{j}) < \infty$ ，对上式令 $ϵ \to 0$ 可得：

\sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}) \overset{ϵ \to 0}{=} \sum_{j = 1}^{l} α_{j} μ (A_{j}) = \int_{Ω} g d μ

如果存在某个 $j$ ，使得 $μ (A_{j}) = \infty$ ，那么

lim_{n \to \infty} \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}^{(n)}) = \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}) = \infty = \sum_{j = 1}^{l} α_{j} μ (A_{j}) = \int_{Ω} g d μ

所以无论那种情况，令 $ϵ \to 0$ 都可以得到

lim_{n \to \infty} \int_{Ω} g_{n} d μ = \sum_{j = 1}^{l} (α_{j} - ϵ) μ (A_{j}) \overset{ϵ \to 0}{=} \sum_{j = 1}^{l} α_{j} μ (A_{j}) = \int_{Ω} g d μ

从而

lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ \geq lim_{n \to \infty} \int_{Ω} g_{n} d μ = \int_{Ω} g d μ > λ

注意 $0 \leq λ < \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ$ ，那么由 $λ$ 的任意性可得：

lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ \geq \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ

因此结论得证。

接着给出一些有关积分的结论

(i)如果 $f$ 和 $g$ 是非负简单函数， $α, β$ 是非负实数，那么

\int_{Ω} (α f + β g) d μ = α \int_{Ω} f d μ + β \int_{Ω} g d μ

(ii)如果 $f$ 和 $g$ 是非负可测函数， $α, β$ 是非负实数，那么

\int_{Ω} (α f + β g) d μ = α \int_{Ω} f d μ + β \int_{Ω} g d μ

注意(i)根据定义验证即可，(i)推(ii)可以用单调收敛定理。

(iii)如果 $f$ 和 $g$ 是非负可测函数，并且 $f \leq g$ ，那么

\int_{Ω} f d μ \leq \int_{Ω} g d μ

先证明简单函数情形，接着使用单调收敛定理。

接着介绍零测集的概念：

给 定 一 个 测 度 空 间 (Ω, Σ, μ) ， 如 果 A \in Σ 且 μ (A) = 0 ， 那 么 A 被 称 为 零 测 集 ， 如 果 N \subset A ， A \in Σ 且 A 是 一 个 零 测 集 ， 那 么 N 被 称 为 零 集 (μ - null set)

几乎处处的概念：

一 个 性 质 P 被 称 为 在 A \in Σ 上 几 乎 处 处 成 立 ， 如 果 {x \in A : x 没 有 性 质 P} 是 零 集 ， 记 为 a . e 或 者 a . s

来看几个具体例子：

例1

(i) $f_{n} \to f (a . e .)$ 对于 $A \in Σ$ 意味着存在 $A$ 中的零集 $N$ ，使得

f_{n} (x) \to f (x) 对 于 任 意 x \in A ∖ N

(ii)一个函数 $f$ 在 $A \in Σ$ 上几乎处处有定义，如果存在 $A$ 中的零集 $N$ ，使得

f (x) 在 任 意 x \in A ∖ N 上 有 定 义

定义：

一 个 函 数 f 在 A \in Σ 上 几 乎 处 处 可 测 ， 如 果 存 在 一 个 可 测 零 集 N \subset A ， 使 得 f (x) 在 A ∖ N 上 有 定 义 并 且 对 于 任 意 的 α \in R ， {x \in A ∖ N : f (x) > α} \in Σ

注意上述定义和 $N$ 无关。

定义：

如 果 f 和 g 是 Ω 上 可 测 函 数 ， 那 么 f 和 g 几 乎 处 处 相 等 ， 如 果 f = g (a . e .) 或 者 {f \neq g} 是 一 个 零 集 (f 被 称 为 g 的 镜 像 (v e r s i o n))

例2

如果 $f$ 和 $g$ 几乎处处相等并且 $\int_{Ω} f d μ$ 存在，那么 $\int_{Ω} g d μ$ 存在，并且

\int_{Ω} f d μ = \int_{Ω} g d μ

之前介绍的定理都可以改写为几乎处处成立的版本。

Theorem 1 Egoroff Therorem

{f_{n}} 是 Ω 上 几 乎 处 处 有 定 义 的 一 列 可 测 函 数 ， 如 果 对 于 A \in Σ ， μ (A) < \infty, f_{n} 在 A 上 有 f_{n} \to f (a . e .) ， 那 么 对 于 任 意 给 定 ϵ > 0, 存 在 B \in Σ, B \subset A ， 使 得 μ (A ∖ B) < ϵ 并 且 在 B 上 f_{n} 一 致 收 敛 于 f

Theorem 2 单调收敛定理

{f_{n}} 可 测 函 数 序 列 ， f_{n} \geq 0 (a . e .), f_{n} ↑ (a . e .) 那 么 \int_{Ω} lim_{n \to \infty} f_{n} d μ = lim_{n \to \infty} \int_{Ω} f_{n} d μ

Therorem 2 单调收敛定理

例1

例2

Theorem 1 Egoroff Therorem

Theorem 2 单调收敛定理

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