台大实分析单元 4 测度 2

这一讲继续讨论测度以及可测性，介绍了很多新的概念。

符号含义：

$$\Omega为全集，\Sigma为\Omega上\sigma代数 \\ \overline {\mathbb R} = \{-\infty\} \bigcup {\mathbb R} \bigcup \{\infty\}$$

首先给出示性函数的定义：

$$A\subset \Omega，I_A(w)=\begin{cases} 1, & 如果w \in A\\ 0, & 如果w \notin A \end{cases}\\ 称I_A为A的示性函数$$

关于示性函数有如下命题：

$$I_A可测当且仅当A \in \Sigma$$

这个结论只要根据定义验证即可。

关于$-\infty$和$\infty$的运算给出如下规则：

$$0\times \infty = 0\times (-\infty)=0 \\ 如果a>0,a\times \infty = (-a)\times(-\infty) = \infty \\ 如果a<0,(-a)\times \infty = a\times(-\infty) = \infty\\ \infty+\infty =\infty ,-\infty +(-\infty) = -\infty ,a+\infty = \infty (a\in R)\\ a+(-\infty) = a-\infty = -\infty (a\in R) \\ \infty +(-\infty) 没有定义\\ 如果a\in \mathbb R,\frac a{\infty} = \frac a{-\infty} =0\\ \frac{\infty}{\infty},\frac{\infty}{-\infty},\frac{-\infty}{\infty},\frac{-\infty}{-\infty}没有定义$$

之前可测函数的定义为$\{f>\alpha\} \in \Sigma$，由于

$$\{f>\alpha\}^C = \{f\le \alpha\} , \{f< \alpha\} =\bigcup_{n\in \mathbb N} \{ f\le \alpha -\frac 1 n \} ,\{f\ge \alpha\} = \{f< \alpha\}^C$$

结合$\sigma$代数的性质可知，所以如果$f$可测，那么上述集合均属于$\Sigma$

类似的，如果$f$可测，如下集合均属于$\Sigma$

$$\{\alpha<f<\beta \},\{\alpha<f\le \beta \},\{\alpha \le f< \beta \}\\ \{f=-\infty \} =\bigcap_{n\in \mathbb N}\{f\le -n\},\{f=\infty \} =\bigcap_{n\in \mathbb N}\{f\ge n\}$$

再给出一些符号的含义。

$$令\mathscr B 是\mathbb R上包含开集的最小\sigma代数\\ \overline{ \mathscr B} 是\overline {\mathbb R} 上包含全部(a,\infty ]形式的的区间最小\sigma代数\\ 注意\mathscr B \subset \overline{ \mathscr B}并且\mathscr B是\mathbb R上包含全部形如 (\alpha, \infty], (-\infty, \alpha], (-\infty, \alpha),(\alpha,\beta)的区间的最小\sigma代数\\ \mathscr B( \overline{ \mathscr B})中的集合称为\mathbb R( \overline {\mathbb R})上的\text{Borel}集$$

对于$\Omega$上的函数族$\{f_\alpha\}$，用如下方式定义$\inf_{\alpha} f_{\alpha}$以及$\sup_{\alpha} f_{\alpha}$

$$\begin{aligned} (\inf_{\alpha} f_{\alpha})(w) &= \inf_{\alpha} f_{\alpha}(w) \triangleq \bigwedge_{\alpha} f_{\alpha} \\ (\sup_{\alpha} f_{\alpha})(w) &= \sup_{\alpha} f_{\alpha}(w) \triangleq \bigvee_{\alpha} f_{\alpha} \end{aligned}$$

再给出$\lim_{n\to \infty}\inf f_n​$以及再$\lim_{n\to \infty}\sup f_n​$的定义

$$(\lim_{n\to \infty}\inf f_n) (w) = \lim_{n\to \infty} (\inf_{m\ge n} f_m)(w) = \lim_{n\to \infty} (\inf_{m\ge n} f_m (w) ) \\ (\lim_{n\to \infty}\sup f_n) (w) = \lim_{n\to \infty} (\sup_{m\ge n} f_m)(w) = \lim_{n\to \infty} (\sup_{m\ge n} f_m (w) ) \\ 注意\{ \inf_{m\ge n} f_m (w) \} \uparrow,\{ \sup_{m\ge n} f_m (w) \} \downarrow$$

再给出简单函数的定义：

$$有限个示性函数的线性组合称为简单函数 \\ i.e. \ \sum_{i=1}^k \lambda_i I_{A_i},\lambda_i \in \mathbb R,A_i\in \Omega$$

对函数极限给出如下定义：

$$显然有\lim_{n\to \infty}\inf f_{n}(x)\le \lim_{n\to \infty}\sup f_{n}(x)，如果\lim_{n\to \infty}\inf f_{n}(x)= \lim_{n\to \infty}\sup f_{n}(x)，\\ 那么这个共同的值称为\{ f_n\}在x的极限，用\lim_{n\to \infty} f_n(x)表示。\\如果\lim_{n\to \infty} f_n(x)在任意x\in \Omega均存在，那么序列\{f_n\}在\Omega上点点收敛，并且极限函数用\lim_{n\to \infty} f_n表示。$$

上面一部分主要是一些定义的说明，这里给出定理2

Theorem 2

$$假设(\Omega, \Sigma)是一个可测空间，f是\Omega上一个非负可测函数,\\ 那么存在序列\{ A_j\}_{j\in\mathbb N} \subset \Sigma，使得\\ f(w) = \sum_{j=1}^\infty \frac 1 j I_{A_j} (w),w\in \Omega$$

证明：

按照如下方式定义$A_1,A_2,…​$

$$A_1= \{ f\ge 1\},A_2 = \{f\ge \frac 1 2 + I_{A_1}\}...A_j = \{f\ge \frac 1 j + \sum_{k<j} \frac 1 k I_{A_k} \}$$

注意$f(w) = 0$等价于$w\in \Omega \setminus \bigcup_j A_j$，所以接下来只要证明当$w\in \bigcup_j A_j$时两边相等即可。

[Case 1] 存在有限多个$j$使得$w\in A_j$

如果只存在有限多个$j$使得$w\in A_j$，令$j_0$是最大的$j$，使得$w\in A_j$，那么$I_{A_{j_0 +s}}(w) = 0$，从而利用$w\in A_{j_0}$的定义可得

$$f(w) \ge \frac 1 {j_0} + \sum_{k<j_0} \frac 1 k I_{A_k}(w) = \sum_{k=1}^{j_0} \frac 1 k I_{A_k}(w) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

另一方面，对于$j>j_0$

$$f(w) < \frac 1 {j} + \sum_{k<j} \frac 1 k I_{A_k}(w) = \frac 1 {j} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

令$j\to \infty$可得

$$f(w) \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

结合两个方向的不等式可得

$$f(w) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

所以Case 1正确。

[Case 2] 存在无限多个$j$使得$w\in A_j$

由条件可得，对于无限多个$j$，我们有

$$f(w) \ge \frac 1 {j} + \sum_{k<j} \frac 1 k I_{A_k}(w) = \sum_{k=1}^{j} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

令$j\to \infty$可得

$$f(w) \ge \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)$$

接着继续分两种情形讨论：或者存在$n\in \mathbb N$，使得当$j\ge N$时，$w\in A_j$；或者存在无限多个$j$使得$w\notin A_j$

在前一种情形下，

$$f(w) \ge \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w) \ge \sum_{k\ge N} \frac 1 k = \infty$$

所以

$$f(w) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 k I_{A_k}(w)= \infty$$

此时结论成立。

在后一种情形下，对于无限个$j$，下式成立

$$f(w) <\frac 1 j +\sum_{k<j} \frac1 k I_{A_k} (w) \le \frac 1 j +\sum_{k=1}^{\infty} \frac1 k I_{A_k} (w)$$

令$j\to \infty$可得

$$f(w) \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac1 k I_{A_k} (w)$$

从而结论也成立。

上述定理有以下推论：

Corollary 1

$$如果f是一个非负可测函数，\\ 那么存在一个非递减的简单函数序列\{s_n\} 使得s_n\to f$$

只要按照定理2中的定义取$A_j$，然后如下构造$s_n$即可

$$s_n = \sum_{j=1}^n \frac 1 j I_{A_j}(w)$$