这一讲将讨论测度以及可测性，介绍了非常重要的$\lambda -\pi$系方法。

Unit 2 Measurability

2.1 Families of sets and set functions

首先给出以下定义：

备注：这一章我们只考虑值域为正实数以及$\infty$的集合函数，即：

对于空集还做如下要求：

单调性：

连续性：

准测度(premeasure)：

$\pi$系：

下面看几个$\pi$系的例子

例子：

(i)$\Omega = \mathbb R$，子集族$\{ (-\infty , a] :a\in R\}$是一个$\pi$系

(ii)$\Omega = \mathbb R$，子集族$\{ (a , b) :-\infty < a\le b <\infty \}$是一个$\pi$系

这两个例子直接根据定义验证即可。

代数：

注意由德摩根律，(ii)(iii)可以推出：

$\sigma​$代数：

同理由德摩根律，可列交也属于$\Sigma$

$\lambda$系：

注意如果$A,B \in \mathscr L, A{\subset} B,\mathscr L$是$\lambda$系，那么$B\setminus A = B \bigcap A^C = (B^C\bigcup A)^C \in \mathscr L$

可以看到$\lambda$系和$\sigma$代数的区别在于第(iii)条，$\sigma$代数的要求更强一些，事实上，有如下引理：

Lemma 1

证明：

不妨设该子集族为$P$

$\Rightarrow$：

因为$P$为$\sigma$代数，所以任取$A,B\in P$，由德摩根律以及$\sigma$代数的性质可得：

从而$P​$为$\pi​$系，显然$P​$为$\lambda​$系，所以结论得证。

$\Leftarrow$：

只要证$P$关于可列并封闭即可，任取$\{A_n\}\in P$，定义$B_n =A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1}A_k$，那么$B_n$为不交序列，将$B_n$换一个形式写：

由于$P$为$\lambda$系，所以$A_k^C\in P$；又由于$P $为$\pi​$系，所以

因为$\{B_k\}$为$P$中不交序列，由$\lambda$系的第三条性质可知：

从而$P$为$\sigma$代数。

下面给出一个判别$\sigma$代数的重要定理，在给出定理之前，先给出如下记号：

备注：

这里来解释上述记号，是因为$\Omega$的幂集必然为$\sigma$代数以及$\lambda$系，所以包含$\Phi$的$\lambda$系以及$\sigma$代数必然存在，对这些$\lambda$系和$\sigma$代数分别取交集即可。由备注可知，取交集之后的集合仍然为$\lambda$系和$\sigma$代数，从而上述记号是有意义的。

Theorem 1 ($\lambda -\pi$ Theorem)

证明：

由于$\sigma$代数一定是$\lambda$系，所以包含$\mathscr P$的$\sigma$代数族一定是包含$\mathscr P$的$\lambda$系族的一部分，从而

所以我们只要证明

令$\mathscr L_0 = \lambda(\mathscr P)$，如果$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系（注意$\mathscr L_0$为$\lambda$系），那么$\mathscr L_0 $是一个$\sigma$代数，从而$\mathscr L_0 = \lambda(\mathscr P) \supset \sigma(\mathscr P)$，因此

所以我们的目标是证明$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系。

对于$A \in \mathscr L_0$，令

要证明$\mathscr L_0 $是一个$\pi$系，只要证明对于所有的$A\in \mathscr L_0$，$\mathscr L_A \supset \mathscr L_0 $

下面先证明$\mathscr L_A$是$\lambda$系，

先验证(i)

接着验证(ii)

最后验证(iii)

综上，$\mathscr L_A$为$\lambda$系。

如果$B\in \mathscr P$，由于$ \mathscr P$为$\pi$系，所以$\forall C \in \mathscr P$，$B\bigcap C \in \mathscr P$，从而

由于$\mathscr L _B$为$\lambda$系，$\mathscr L _0$为包含$\mathscr P$的最小$\lambda$系，因此

所以

因为$\mathscr L _A​$为$\lambda​$系，$\mathscr L _0​$为包含$\mathscr P​$的 最小$\lambda​$系，所以

从而命题得证。

最后给出如下定义：