台大实分析单元 2 可加性

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这一讲的内容是有关可加性。

先给出一个重要定义

$$\begin{gathered} \mathrm{对}\mathrm{于}a\in \mathbb{R}，\mathrm{按}\mathrm{如}\mathrm{下}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{定}\mathrm{义}{a}^{+},a^{-} \\ {a}^{+}=\{\begin{array}{ll}a,& a>0\\ 0,& a\le 0\end{array},a^{-}=\{\begin{array}{ll}-a,& a<0\\ 0,& a\ge 0\end{array} \end{gathered}$$

从上述定义中可以看出如下关系：

$$a=a^{+}-a^{-},|a|=a^{+}+a^{-}$$

现在给出和柯西收敛定理对应的定理。

Theorem 3(Cauthy)

$$\begin{gathered} \{C_{\alpha }\}\mathrm{是}\mathrm{可}\mathrm{加}\mathrm{的}\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }A\in F(I), \\ s.t.\mathrm{当}B\in F(I),B\cap A=\varnothing \mathrm{时}，|\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }|<ϵ \end{gathered}$$

证明：

充分性：

取$ϵ=1$，那么存在$A\in F(I)$，当$B\in F(I),B\cap A=\varnothing$时，$|\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }|<1$。

现在回顾${\alpha }^{+}$的定义

$$a^{+}=\{\begin{array}{ll}a,& a>0\\ 0,& a\le 0\end{array}$$

所以

$$\begin{gathered} |\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }^{+}|=|\sum _{\alpha \in B^{\prime }}{C}_{\alpha }| \\ {B}^{\prime }\subset B \end{gathered}$$

又因为$B\cap A=\varnothing ,B^{\prime }\subset B$，所以$B^{\prime }\cap A=\varnothing$，从而

$$\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }^{+}=|\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }^{+}|=|\sum _{\alpha \in B^{\prime }}{C}_{\alpha }|<1$$

现在任取$B\in F(I),(B\setminus A)\cap A=\varnothing$（注意这个$B$不是上述的$B$），所以可以利用上述结论

$$\begin{array}{rl}\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }^{+}& =\sum _{\alpha \in B\cap A}{C}_{\alpha }^{+}+\sum _{\alpha \in B\setminus A}{C}_{\alpha }^{+}\\ & <\sum _{\alpha \in B\cap A}{C}_{\alpha }^{+}+1\\ & \le \sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }^{+}+1\end{array}$$

注意$\sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }^{+}+1$是一个固定的数，从而

$$\{\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }^{+}:B\in F(I)\}\le \sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }^{+}+1<\mathrm{\infty }$$

由Theorem 2可得$\{C_{\alpha }^{+}{\}}_{\alpha \in I}$可加，同理$\{C_{\alpha }^{-}\}$也可加（考虑$\{-C_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$这个集合即可），由Theorem 1，$\{C_{\alpha }\}=\{C_{\alpha }^{+}\}-\{C_{\alpha }^{-}\}$也可加。

必要性：

因为$\{C_{\alpha }\}$可加，所以设其和为$l$，所以

$$\mathrm{任}\mathrm{取}\frac{ϵ}{2}>0，\mathrm{存}\mathrm{在}A\in F(I)，\mathrm{如}\mathrm{果}B\in F(I)\mathrm{并}\mathrm{且}A\subset B，\mathrm{那}\mathrm{么}|\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }-l|<\frac{ϵ}{2}$$

现在任取$B\in F(I),B\cap A=\varnothing$，那么$A\subset B\cup A$，从而

$$|\sum _{\alpha \in B\cup A}{C}_{\alpha }-l|<\frac{ϵ}{2}$$

又因为$A\subset A$，所以

$$|\sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }-l|<\frac{ϵ}{2}$$

注意由于$B\cap A=\varnothing$，所以$B=B\cup A\setminus A$，从而

$$\begin{array}{rl}|\sum _{\alpha \in B}{C}_{\alpha }|& =|\sum _{\alpha \in B\cup A}{C}_{\alpha }-\sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }|\\ & =|\sum _{\alpha \in B\cup A}{C}_{\alpha }-l-(\sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }-l)|\\ & \le |\sum _{\alpha \in B\cup A}{C}_{\alpha }-l|+|\sum _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }-l|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ\end{array}$$

从而必要性得证。

这个定理证明过程告诉可以利用$a=a^{+}-a^{-}$将一些问题转化为只针对正数情形来证明。

1.2 Double series

$I=\mathbb{N}\times \mathbb{N}=\{(i,j):i\in \mathbb{N},j\in \mathbb{N}\}$，考虑$\{C_{(i,j)}:(i,j)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\}$，简写为$C_{ij}$，当$\{C_{ij}\}$的可加性有疑问时，$\{C_{ij}\}$被称为二重级数，并用$\sum C_{ij}$表示。对于可加性给出如下定理：

Theorem 4

$$\begin{gathered} \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{级}\mathrm{数}\{C_{ij}\}\mathrm{可}\mathrm{加}，\mathrm{那}\mathrm{么} \\ \sum _{(i,j)\in I}{C}_{ij}=\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij} \end{gathered}$$

证明：

令$l=\sum _{(i,j)}{C}_{ij}$，所以$\mathrm{\forall }ϵ>0$，存在$A\in F(I)$，使得当$B\in F(I)$且$A\subset B$时

$$|\sum _{(i,j)\in B}{C}_{ij}-l|<ϵ$$

令$N=max\{i\vee j:(i,j)\in A\}$，其中$i\vee j$表示$i,j$中的较大者。如果$m,n\ge N$，那么

$$A\subset \{(i,j):1\le i\le m,1\le j\le n\}$$

所以

$$|\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}-l|<ϵ$$

从而

$$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}=l$$

既然$C_{ij}=C_{ij}^{+}-C_{ij}^{-}$，所以我们可以假设$C_{ij}\ge 0$，从而

$$\begin{gathered} l=\underset{n,m\ge 1}{sup}\{\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}\} \\ (\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{事}\mathrm{实}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{从}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{为}\mathrm{其}\mathrm{上}\mathrm{确}\mathrm{界}\mathrm{来}\mathrm{理}\mathrm{解}，\mathrm{这}\mathrm{里}\mathrm{不}\mathrm{再}\mathrm{多}\mathrm{说}) \end{gathered}$$

由定义可知

$$l\ge \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}(\mathrm{\forall }n>0)$$

由$n$的任意性可得

$$l\ge \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}$$

在另一方面，

$$\begin{array}{rl}l& =\underset{n,m\ge 1}{sup}\{\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}\}\\ & \le \underset{n\ge 1}{sup}\{\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}\}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}\\ & =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}\end{array}$$

从而

$$l=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}$$

同理

$$l=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}$$

对于正数集合$\{C_{ij}\}$，如果$\{C_{ij}\}$不可加，那么$\sum _{(i,j)\in I}{C}_{ij}=\mathrm{\infty }$，此时

$$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}=\mathrm{\infty }$$

从而上述定理给出以下事实

Remark:

$$\begin{gathered} \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{\forall }(i,j)\in N\times N,C_{ij}\ge 0，\mathrm{那}\mathrm{么} \\ \underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{C}_{ij}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{ij}\mathrm{永}\mathrm{远}\mathrm{成}\mathrm{立} \end{gathered}$$

1.3 Coin tossing

现在考虑投硬币的问题，用$H$表示硬币正面，$T$表示硬币反面，我们用如下方式表达投硬币的试验

$$\begin{gathered} B(p,q),p,q\ge 0,p+q=1 \\ P(H)=p,P(T)=q \end{gathered}$$

$B(p,q)$被称为伯努利试验，特殊的，$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$表示硬币是公平的。

我们现在考虑如何用数学模型表示一系列投硬币的试验，为了方便起见，用$1$表示$H$，$0$表示$T$，那么投硬币的结果可以用无穷的$0,1$序列表示，令

$$\begin{gathered} \mathrm{\Omega }=\{0,1{\}}^{\mathrm{\infty }}=\{w=(w_k),w_k=0\mathrm{或}1\} \\ (w_k)=(w_1,w_2,...,w_k,...) \end{gathered}$$

由概率论知识可知，$\mathrm{\Omega }$中元素被称为样本点，$\mathrm{\Omega }$中的子集被称为事件，任取$n\in \mathbb{N}$，令

$${\mathrm{\Omega }}_n=\{0,1{\}}^n=\{({ϵ}_1,...,{ϵ}_n):{ϵ}_j\in \{0,1\},j=1,...n\}$$

对于$({ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n)\in {\mathrm{\Omega }}_n$，称集合

$$E({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)=\{(w_k):w_1={ϵ}_1,...,w_n={ϵ}_n\}$$

为elementary cylinder of rank n，由独立性可知

$$P(E({ϵ}_1,...,{ϵ}_n))=\frac{1}{2^n}$$

考虑几个例子，

$$\begin{gathered} \mathrm{当}n=1\mathrm{时},\mathrm{\Omega }=E(0)\cup E(1) \\ \mathrm{当}n=2\mathrm{时},\mathrm{\Omega }=E(0,0)\cup E(0,1)\cup E(1,0)\cup E(1,1) \end{gathered}$$

我们称elementary cylinder的有限并为$\mathrm{\Omega }$中的cylinder。如果$Z$是$\mathrm{\Omega }$中的cylinder，那么

$$\begin{gathered} Z=\cup \{E({ϵ}_1,...,{ϵ}_n):({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)\in H\} \\ H\subset \underset{n\mathrm{个}}{\underbrace{\{0,1\}\times ...\times \{0,1\}}} \end{gathered}$$

我们来看一下这个定义，由于

$$\begin{gathered} E(0)=E(0,0)\cup E(0,1) \\ E(1)=E(1,0)\cup E(1,1) \end{gathered}$$

所以我们可以把每个长度小于$n$的elementary cylinder写成长度为$n$的elementary cylinder。现在$Z$是$\mathrm{\Omega }$中的cylinder，令其elementary cylinder中长度最长者为$n$，所以可以把每个elementary cylinder写为长度为$n$的elementary cylinder，这也就是这个定义的具体含义。

比较自然地，我们定义概率为：

$$P(Z)=(\frac{1}{2}{)}^n\times \mathrm{\#}H$$

第一个问题是：$P(Z)$是否是定义良好(well defined)？

之所以提出这个问题，是因为我们可以把每个elementary cylinder的拆开，所以$H$的定义不唯一，问题的意思是$P(Z)$和$H$的表示是否有关？

这个回答是肯定的，即$P(Z)$是定义良好的，下面来证明这个事实。

证明：

$$\begin{gathered} \mathrm{如}\mathrm{果}Z=\cup \{E({ϵ}_1,...,{ϵ}_n):({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)\in H\},H\subset \underset{n\mathrm{个}}{\underbrace{\{0,1\}\times ...\times \{0,1\}}} \\ Z=\cup \{E({ϵ}_1,...,{ϵ}_m):({ϵ}_1,...,{ϵ}_m)\in H^{\prime }\},H^{\prime }\subset \underset{m\mathrm{个}}{\underbrace{\{0,1\}\times ...\times \{0,1\}}} \\ m>n \end{gathered}$$

那么，由于长度为$n$的elementary cylinder拆成两个长度为$n+1$的elementary cylinder，所以

$$\mathrm{\#}{H}^{\prime }=\mathrm{\#}H\times 2^{m-n}$$

从而

$$\begin{gathered} P(Z)=(\frac{1}{2}{)}^n\times \mathrm{\#}H \\ {P}^{\prime }(Z)=(\frac{1}{2}{)}^m\times \mathrm{\#}{H}^{\prime }=(\frac{1}{2}{)}^m\times \mathrm{\#}H\times 2^{m-n}=(\frac{1}{2}{)}^n\times \mathrm{\#}H=P(Z) \end{gathered}$$

令$Q$是$\mathrm{\Omega }$中所有cylinder构成的集合（我们将$\varnothing$也加入$Q$），那么$Q$满足如下三个性质：

• $\mathrm{\Omega }\in Q,\varnothing \in Q$
• 如果$Z\in Q$，那么$Z^c\in Q$
• 如果$Z_1,Z_2\in Q$，那么$Z_1\cup Z_2\in Q$

$P$有如下性质：

• $P(\varnothing )=0,P(\mathrm{\Omega })=1$
• $0\le P(Z)\le 1$
• 如果$Z_1\cap Z_2=\varnothing$，那么$P(Z_1\cup Z_2)=P(Z_1)+P(Z_2)$

我们定义的$P$有概率的一些性质，但是很多事件都不在$Q$中，考虑如下事件：

$$\begin{gathered} \mathrm{取}w=(w_k)\in \mathrm{\Omega }，\mathrm{对}\mathrm{于}j=1,2,...,\mathrm{令}{d}_j(w)=w_j，\mathrm{那}\mathrm{么} \\ \sum _{j=1}^n{d}_j(w)=\sum _{j=1}^n{w}_j=\mathrm{\#}\mathrm{前}n\mathrm{次}\mathrm{试}\mathrm{验}\mathrm{中}\mathrm{硬}\mathrm{币}\mathrm{朝}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数} \\ \mathrm{令}E=\{w\in W:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{j=1}^n{d}_j(w)}{n}=\frac{1}{2}\} \end{gathered}$$

那么$E$不是cylinder，这是因为cylinder可以写成长度任意长的elementary cylinder的并，而$E$无法写成这种形式（可以利用反证法，如果$E$是elementary cylinder的并，那么它可以无限拆分，所以第$n$位之后全是$0$的序列属于$E$，这显然是矛盾的）。

现在的问题是，我们在$Q$这种小集合上定义的概率，能否扩充到更多的集合上去（至少包含上述$E$）？这个是我们后面要研究的问题。