台大实分析单元 1 Introduction

本科的时候也学习过实分析，但那时候学的比较差，现在发现这门课真的很重要，所以决定重新学习一遍，网上找了一些资料后发现台大劉豐哲老师的课程不错，决定把这门课自学完，整理一些笔记，记录作业的解答，这部分是第一讲的内容。

附上课程地址：

http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/ocw/cou/105S109/36

Unit 1. Introduction and Examples

1.1 Summability of systems of real numbers

我们先考虑求和的问题，考虑莱布尼茨级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac { (-1)^{n-1}} n$$

我们知道这个级数收敛，但是这个级数按照不同的顺序相加得到的结果不同，这是一种不太好的性质，所以老师重新定义一种求和式，在这种定义下的收敛和求和顺序无关（相当于绝对收敛）。

考虑一个集合$\{C _\alpha \}_{\alpha \in I}$，$I$是一个指标集，后面为了叙述方便，将$\{C _\alpha \}_{\alpha \in I}$简写为$\{C _\alpha \}$，在叙述之前，给出记号的含义：

$$\begin{aligned} \mathbb R &= 实数集\\ F(s) &=集合S的所有非空子集构成的集合\\ \mathbb N &= 正整数集合\\ \mathbb Z &=整数集合 \end{aligned}$$

现在给出如下定义：

$$称\{C _\alpha \}可加当其满足如下性质：\\ 存在l \in \mathbb{R}，使得任取\epsilon >0，存在 A\in F(I)，如果B\in F(I)并且A\subset B，\\ 那么|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l| <\epsilon$$

Remark:

$$如果\{C _\alpha \}可加，那么上述定义的l是唯一确定的$$

证明：

利用反证法，假设不唯一，那么存在$l_1\neq l_2$也满足上述性质，那么由定义，任取$\epsilon >0$，存在$A_1 ,A_2 \in F(I)$，使得如果$B_1,B_2\in F(I)$，并且$A_1\subset B_1,A_2 \subset B_2$，那么

$$|\sum_{\alpha \in B_1} C_\alpha -l_1| <\frac \epsilon 2 \\ |\sum_{\alpha \in B_2} C_\alpha -l_2| <\frac \epsilon 2$$

现在取$A =A_1 \bigcup A_2 \in F(I)$，那么当$B\in F(I),A\subset B$时，$A_1 \subset A \subset B ,A_2 \subset A \subset B$，所以我们有

$$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_1| <\frac \epsilon 2 \\ |\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_2| <\frac \epsilon 2 \\ |l_1 - l_2| = |\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_1 -(\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_2)| \le |\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_1| +|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l_2| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 =\epsilon$$

由$\epsilon$为任意正数可得$l_1=l_2$，唯一性得证。

接着我们来看一个例子：

例1

$$对于\{C _\alpha \}_{\alpha \in \mathbb N},\{C _\alpha \}_{\alpha \in \mathbb N}可加当且仅当 \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}绝对收敛$$

我们知道对于一般的集合$I​$不一定可列，这个例子的含义是当集合可列时，上述定义的可加就变成了绝对收敛，我们来证明这个结论。

证明：

充分性：

假设$\sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}$绝对收敛，设$l = \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}$，由收敛的定义我们可知，任取$\epsilon_0>0$，存在$n_0 >0$，当$n> n_0$时，

$$|\sum_{\alpha = 1}^{n} C_{\alpha} - l| < \frac {\epsilon_0} 2$$

又由绝对收敛的定义我们可知，任取$\epsilon_1> 0$，存在$n_1 >0$，当$n > n_1$时，

$$|\sum_{\alpha = n}^{\infty} |C_{\alpha}| | = \sum_{\alpha = n}^{\infty} |C_{\alpha}|<\frac {\epsilon_1}2$$

现在取$n_2 = \max\{n_0,n_1\},\epsilon = \max \{ \epsilon_0,\epsilon_1\}$，那么当$n>n_2$时，上述两个条件均满足，从而

$$|\sum_{\alpha = 1}^{n} C_{\alpha} - l| < \frac {\epsilon} 2,|\sum_{\alpha = n}^{\infty} |C_{\alpha}| | = \sum_{\alpha = n}^{\infty} |C_{\alpha}|<\frac {\epsilon}2$$

令集合$A= \{1,…,n_2+1\}$，那么$n_2+1 >n_2$，从而$|\sum_{A} C_{\alpha} - l| =|\sum_{\alpha = 1}^{n_2+1} C_{\alpha} - l|<\frac \epsilon 2$;任取$A\subset B$，对于任意$b\in B\setminus A$，$b > n_2$，所以可以利用上面的条件，可得：

$$\begin{aligned} |\sum_{\alpha \in B} C_{\alpha} - l| &=|\sum_{\alpha \in B} C_{\alpha} - \sum_{\alpha \in A} C_{\alpha}+ \sum_{\alpha \in A} C_{\alpha} - l| \\ &= |\sum_{\alpha \in {B\setminus A}} C_{\alpha} + \sum_{\alpha \in A} C_{\alpha} - l|\\ &\le |\sum_{\alpha \in {B\setminus A}} C_{\alpha} | +|\sum_{\alpha \in A} C_{\alpha} - l| \\ & \le \sum_{\alpha = n_2 +1} ^{\infty} |C_\alpha| + |\sum_{\alpha \in A} C_{\alpha} - l| \\ &\le \frac {\epsilon}2 +\frac {\epsilon}2 \\ &= \epsilon \end{aligned}$$

这说明$\{C _\alpha \}$可加，充分性得证。

必要性：

因为$\{C _\alpha \}$可加，所以存在$l \in \mathbb{R}$，使得任取$\epsilon >0$，存在$ A\in F(I)$，如果$B\in F(I)$并且$A\subset B$，那么

$$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l| <\epsilon$$

我们取定义中$B =\mathbb N$，所以必然有$A\subset B$，从而

$$|\sum_{\alpha =1}^{\infty} C_\alpha -l| <\epsilon$$

这说明$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$收敛。

接下来证明$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$绝对收敛，利用反证法。假设$\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}$条件收敛，那么由黎曼级数定理，

$$如果\{C _\alpha \}_{\alpha \in N}条件收敛，那么对于任意的\alpha，存在 \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}的更序级数 \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}^{'}，使得 \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}^{'} =a\\ 这里更序级数的含义是 \sum_{\alpha = 1}^{\infty} C_{\alpha}交换次序之后得到的级数$$

特别地，我们取$a = l+1$，那么

$$|\sum_{\alpha =1}^{\infty} C^{'}_\alpha -l| = |l+1 -l| =1$$

接着取$\{C _\alpha \}$可加定义中的$B=\mathbb N$，因可加的定义中对求和次序没有要求，所以

$$\sum_{\alpha =1}^{\infty} C^{'}_{\alpha} = \sum_{\alpha \in N} C_{\alpha}$$

从而

$$|\sum_{\alpha =1}^{\infty} C^{'}_\alpha -l| = | \sum_{\alpha \in \mathbb N} C_{\alpha} -l| <\epsilon$$

这与之前的叙述矛盾，从而$\{C _\alpha \}_{\alpha \in \mathbb N}$绝对收敛。

同极限的线性性质，我们给出如下定理：

Theorem 1

$$如果\{C _\alpha^{(1)} \}_{\alpha \in I}和\{C _\alpha^{(2)} \}_{\alpha \in I}都可加，那么\{C _\alpha^{(1)} + C _\alpha^{(2)} \}_{\alpha \in I} 也可加，并且\\ \sum_{\alpha\in I} (aC _\alpha^{(1)} + bC _\alpha^{(2)}) = a\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(1)} +b\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(2)}$$

证明：

为了叙述方便，记$\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(1)} = l_1,\sum_{\alpha\in I} C _\alpha^{(2)} = l_2$。

如果$|a|+|b|=0$，那么结论是平凡的，所以我们不妨假设$|a|+|b|>0$。

对于$\epsilon >0$，由可加性，存在$A_1,A_2 \in F(I)$使得当$B_1,B_2 \in F(I)$并且$A_1\subset B_1,A_2 \subset B_2$时，我们有

$$|\sum_{\alpha\in B_1} C _\alpha^{(1)} - l_1| <\frac{\epsilon}{|a|+|b|}\\ |\sum_{\alpha\in B_2} C _\alpha^{(2)} - l_2| <\frac{\epsilon}{|a|+|b|}$$

现在选择$A =A_1 \bigcup A_2 \in F(I)$，那么当$B\in F(I),A\subset B$时，$A_1 \subset A \subset B ,A_2 \subset A \subset B$，所以我们有

$$|\sum_{\alpha\in B} C _\alpha^{(1)} - l_1| <\frac{\epsilon}{|a|+|b|}\\ |\sum_{\alpha\in B} C _\alpha^{(2)} - l_2| <\frac{\epsilon}{|a|+|b|}$$

从而

$$\begin{aligned} |\sum_{\alpha\in B} (aC _\alpha^{(1)} + bC _\alpha^{(2)}) - al_1 -bl_2 | &= |a(\sum_{\alpha\in B} C _\alpha^{(1)} -l_1) +b(\sum_{\alpha\in B} C _\alpha^{(2)} -l_2 ) |\\ &< |a| \frac{\epsilon}{|a|+|b|} + |b| \frac{\epsilon}{|a|+|b|} \\ &= \epsilon \end{aligned}$$

所以结论成立。

同一般的极限一样，我们希望能找到不求出定义中的$l$而直接判断是否可加的方法，这样就给出了定理2

Theorem 2

$$如果\forall \alpha \in I,C_{\alpha} \ge 0,,那么 \{C_\alpha\}是可加的当且仅当 \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \}有上界\\ i.e. \sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} <\infty$$

证明：

充分性：

假设 $\sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} <\infty$，那么由上确界的定义可知，任取$\epsilon >0$，存在$A\in F(I)$，使得

$$l- \epsilon<\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha} \le l \\ 0 \le l -\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha} <\epsilon$$

现在，如果$B\in F(I)$并且$A \subset B$，注意$l$为上确界，$C_{\alpha} \ge 0$，所以我们有

$$| \sum_{\alpha \in B}C_{\alpha} - l| = l - \sum_{\alpha \in B}C_{\alpha} \le l - \sum_{\alpha \in A}C_{\alpha} <\epsilon$$

从而$\{C_\alpha\}$可加。

必要性：

对定义中的取$\epsilon = 1$，那存在$l \in \mathbb{R}$，使得任取$\epsilon >0$，存在$ A\in F(I)$，如果$B\in F(I)$并且$A\subset B$，那么

$$|\sum_{\alpha \in B} C_\alpha -l| <1$$

对于任意集合$C_1$，取$C=C_1\bigcup A$，那么$A\subset C$，所以

$$|\sum_{\alpha \in C} C_\alpha -l| <1 \\ \sum_{\alpha \in C_1}C_\alpha \le \sum_{\alpha \in C}C_\alpha =|\sum_{\alpha \in C}C_\alpha| = |\sum_{\alpha \in C}C_\alpha - l +l| < 1 + l$$

这说明任意和式都有上界$l+1​$，从而

$$\sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} <\infty$$

补充一点，对于$C_{\alpha} \ge 0,\forall \alpha \in I$，如果$\sup \{\sum_{\alpha \in A}C_{\alpha}:A\in F(I) \} =\infty$，那么$\{C_{\alpha}\}$不可加，由于$\{C_{\alpha}\}$是正数集合，所以

$$\sum_{\alpha \in I}C_{\alpha}=\infty$$

从而非负集合的$\sum_{\alpha \in I}C_{\alpha}​$永远有意义，或者为正无穷，或者为和$l$。